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浅析球形带电体对匀强电场电势分布影响 摘要：大学物理课程中对几种典型带电体放入匀强电场中导致匀强电场电势分布发生变 化做了定性的说明，但由于求解过程复杂，大学物理课程中并没有详细求解。本文利用球坐 标系下的拉普拉斯算子，通过求解勒让德函数对满足这类问题的几个具体例子进行了简单的 求解。 关键词：勒让德函数 球坐标系 拉普拉斯方程 1. 导体对匀强电场电势分布的影响  例 1：已知匀强电场为E0 ，带电球体半径为r0 ，求球外电势分布。 由于此问题的研究对象为球体，因而选用球坐标较为方便。以导体球球心处为原点， 通过球心且平行于电场方向的对称轴为球坐标系极轴建立球坐标，并选取导体球边界处 2 u  u0 为电势零点，可得电势 满足 ，u |  0。 rr 0 u 又因为导体球关于对成轴对称，所以球外电势 的分布与 角无关，故u u(r, ) 1  2 u 1  u 2 (r ) 2 (sin ) 0 r r r r sin   利用分离变数法，令u  u(r,) R(r)()，可得 1 d 2 dR 1 d d (r ) (sin ) l(l1) Rdr dr sin d d l 1  R(r)Cr D l1 l 1 ∴ r ，u(r,) (Cr  Dl l l1)P(cos)l （1） () P(cos) l0 r l  由于无限远处静电场仍保持为E0 ，因此u| Ercos . r 0  l 1 u(r,) (Cr  D )P(cos) 将（1）式带入边界条件，当r   时，  l l l =Ercos l1 0 l0 r 比较系数，可得l 1，C