孤立二质点系统的动力学方程及其应用.docVIP

孤立二质点系统的动力学方程及其应用 二质点系统是最简单的质点系统。通常，大家把二质点孤立系统问题称为二体问题。二体问题中系统动量守恒，质心保持匀速直线运动，或保持静止。万有引力相互作用的两质点问题和两质点碰撞问题均属二体问题。 本文在导出二质点孤立系统相对动力学方程的基础上，通过例题展示其应用。 一、 二质点相对动力学方程推导 如右图所示，设质点1和质点2的质量分别为m1和m2 它们的位矢分别为r1和r2，质点1受到质点2的作用力为f12，质点2受到质点1的作用力为f21，由牛顿第三定律，有 f12= —f21 两质点动力学方程分别为 m1a1=f12 m2a2=f21= —f12 联立求得： a1—a2=（）f12 令 a12=a1-a2,a12是质点1相对质点2的加速度。方程改写为 a12=f12 （1） 其中= 为m1和m2的折合质量。方程1就是质点1相对于质点2的相对动力学方程。 二 讨论 1.等效一体问题的动力学方程，既是质点1在质心系中的动力学方程，也是质点2在质心系中的动力学方程。证明如下： 二质点系统在运动中，质点1,、质点2和质心c始终在同一条直线上。设质点1和质点2相对于质心的位矢分别为r1c和r2c，有关系： r1c=r12 r2c=— 当时有v1c= v2c= 同理： 所以，等效一体问题的动力学方程（1）可以改写为： 则 （2） 或 （3） 方程（2）、（3）为质点1、质点2在质心系中的动力学方程。此处质心系为惯性系。 2.等效一体问题中的动能定理 动能表达式推导过程 = 此式即为二体系统在质心系中的系统总动能。 设法把这个二质点孤立系统在惯性系中（包括质心系）写出动能定理。根据柯尼希定理，动能包括两部分，质心运动动能（）和相对质心运动的动能（Ek）.由于这里讨论的二体系统是孤立系统，质心运动动能不变，所以动能的增量等于系统在质心系中动能的增量，及等效一体问题下的动能的增量。因此，惯性系中动能定理可以写为： A惯内= 三 相对动力学的应用 1.在有心力场中的应用 例：一双星系统,两颗星的质量分别是M、m(M〉m),距离为，在相互间的引力作用下绕不动的质心做圆周运动，设两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星球损失质量为M，假设爆炸是瞬时的并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求：在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离。 两星体在万有引力作用下绕质心作圆周运动，设为运动角速度，写出其中一个星体的动力学方程 解得 在此式中，仅与两质量之和有关，所以m绕质心的角速度也为此值。 超新星爆炸之后瞬间，脱离星体M，剩余的质量M—相对两质心的角速度未变，两星距离未变。所以新系统的新势能为 在新质心系中的动能为 Ek= 其中Eko为质心的动能。为了求出Eko，先求质心速度： 这里利用了两星体速度方向相反这一事实，且。所以新系统在新质心系中的总机械能为 利用新系统为约束系统的条件为 整理后得到： 方法二 利用二体孤立系统的等效一体问题处理。因为等效一体问题中的动能等于质心系中系统总动能。无需从原惯性系总动能减去质心动能得到。 新系统的相互作用时能为 新系统在质心系中的动能为 为使新系统不分离，质心系中机械能应满足 Y X Z m1 m2