《函数的最大值和最小值》教学设计.docVIP

《函数的最大值和最小值》教学设计 ★ 作者简介 廖维猛 1998年6月于湖南科技大学数学教育专业本科毕业，同年7月参加教育工作至今；2003年8月湖南师范大学教育管理硕士结业。1998年到2003年担任从初中一年级至高中三年级的数学教学，现一至从事高三数学教学。 发表论文有：1999．11论文《架好新旧知识的桥梁》省二等奖； 2000．8论文《浅谈十字交叉法的引入》国家一级论文； 2001．7论文《含绝对值函数作图的几种策略》公开发表； 2001．7著作《高中数理化公式定理定律手册》公开销售； 2002．7论文《曲线（直线）恒过定点技巧解法》市三等奖； 2003．10获雷锋学校青年教师素质比武综合一等奖 承担课题有：参与市级课题《分层设问 分组探究》已揭题； 组织省级重点课题《高中数学应用问题实验设计与研究》进行中。 ★ 教学设计 函数的最大值和最小值 【教学目标】 一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题； 二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力； 三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考； 四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。 【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。 二、求一些实际问题的最大值与最小值。 【教具使用】CAI课件、多媒体辅助教学 【课时安排】1课时 【教学过程】 设置情境，引入课题： 观察下面一个定义在区间[a，b]上的函数f(x)的图像。（如图1） 我们知道，图中f(x1)与f(x2)是极小值，f(0)是极大值。在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在[a，b]上的最大值是f(b )，最小值是f(x2)。 新课探究 函数最值的概念。 定义：可导函数f(x)在闭区间[a，b]上所有点处的函数值中的最大（或最小）值，叫做函数f(x)的最大（或最小）值。 一般地，在闭区间上连续的函数f(x) 在[a，b]上必有最大值与最小会值。 注：在开区间（a，b）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。例如f(x)=1/ x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值。 求可导函数f(x)在[a，b]上最大值、最小值的方法。 结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。 例1 （教材P137 例1）求函数在区间[－2，2]上的最大值与最小值。 解：=4x3-4x。 令=0，有4x3-4x=0，解得：x=－1,0,1 当x变化时，，y的变化情况如下表： －2 (－2,1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 － 0 + 0 － 0 + y 13 4 5 4 13 从上表可以看出，最大值是13，最小值是4。（如图2）。 【】f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： 求f(x)在（a，b）内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 〖对应练习〗：（P138 练习）求下列函数在所给区间上的最大值与最小值。 （1）y=x－x3, x∈[0,2]； （2）y=x3+x2－x, x∈[－2,1]。 参考答案：（1）y最大值=， y最小值=－6；（2）y最大值=1，y最小值=－2。 【】例2 （教材P138 例2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？ 解：设箱底边长为x，则箱高 h=60-x/2 箱子容积 V(x)=x2h=(60x2－x3)/2 (0x,60) V’(x)=60x－3x2/2 令 V’(x)=0 解得： x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值。 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3。 【】解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得h=，则 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 S’(R)=+4πR=0 解得，R=从而h====2 即 h=2R 因为只有一个极值，所以它是最小值。 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。 反馈练习： 函数在[－3，4]上的最小值为（ D ） A、－64 B、－51 C、－56 D、－61 函数在