1.2.1极坐标系的概念.ppt

* * * (ρ,θ) (ρ,θ) (ρ,θ) (ρ,θ) (ρ,θ) 目标在哪？ 在以…为X轴 以…为Y轴， 坐标是... 算的太慢了！ 以…为X轴 以…为Y轴... 请问：银杏花园 怎么走？ 以…为X轴 以…为Y轴... 神经病！ 从这向东 500米。 请问：去银杏花园 怎么走？ 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从这向东走500米！ 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）。 这样就建立了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。 X O 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 X O M ? ? 对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标，记作M （?，?） 特别强调：?表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。 练习：说出下图中各点的极坐标 特别规定： 当M在极点时，它的极坐标?=0，?可以取任意值。 想一想？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ①平面上一点的极坐标是否唯一？ 三、点的极坐标的表达式的研究 X O M ? ? 如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的其他表达式。 思：这些极坐标之间有何异同？ 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式： 极径相同，不同的是极角 练习：说出下图中各点的极坐标统一表达式 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 小结： [1]建立一个极坐标系需要哪些要素？ 四要素：极点；极轴；单位长度；角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角引起的。 有。（ρ，2kπ+θ） 四、1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？） 对于点M（-?，?）负极径时的规定： [1]作射线OP，使?XOP= ? [2]在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= ? ? ? M（-?，?） O X P ? M O X P ?= ?/4 M 四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M（－3，?/4）的位置 [1]作射线OP，使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= 3 说出下图中当极径取负值时各点的极坐标： 要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标 [3]点的极坐标的统一表达式。 四、3、负极径的实质 从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。 O X P M O X P M 而反向延长也可以看成是旋转 ? ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。 负极径小结：极径变为负，极角增加 ? 。 练习：写出点 的负极径的极坐标 （6， ） 答：（－6， +π） 特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为? ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。 五、极坐标系下点的极坐标 O X P M 探索点M（3，?/4）的所有极坐标 [1]极径是正的时候： [2]极径是负的时候： * * * *