一 二阶与三阶行列式.PPT

函数与极限 * 一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组： 由消元法，得 得 同理，得 于是，当 时，方程组有唯一解 § 2、n 阶矩阵的行列式 为便于记忆，引进记号 称记号 为二阶行列式 它是根据二阶矩阵 的元素定义的一个代数式， 也称为矩阵 的行列式，记为 ，即 注： (1) 二阶行列式 算出来是一个数。 (2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 2. 三阶行列式 类似地，为讨论三元线性方程组 引进记号 称之为三阶行列式 它是根据三阶矩阵 的元素定义的一个代数式 也称为矩阵 的行列式，记为 。 注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。 (2) 记忆方法：对角线法则 例： n 阶行列式怎样计算呢? 3. n 阶行列式 对于 阶矩阵 我们称由它的元素定义的一个代数式 为 n 阶矩阵 的行列式 仍记为 ，即 对于三阶行列式，容易验证： 可见一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来定义。 问题：一个n 阶行列式是否可以用若干个 n－1 阶行列式来 定义呢？ 定义1： 在 n 阶矩阵中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的 余子式。 记为 称 为元素 的代数余子式。 例如： 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。 例2：设三阶矩阵 ，计算各元素的余子式和代数余子式。 解： 元素 的余子式 代数余子式 元素 的余子式 代数余子式 同理 等等 例如，行列式 按第一行展开，得 定义2： 余子式乘积之和，即 时， 时，n阶行列式等于它的第一行的各元素与其对应的代数 也称为将 n 阶行列式按第一行展开。 例3：计算四阶行列式 解： 让我们先看一个例子 例4：计算下面三阶行列式分别按照第一行、第二行、第三行展开，并比较结果。 解： 按照第一行展开 在行列式的定义中，我们是按照第一行元素进行展开的， 是否可以按照第二行或其它任何一行进行展开呢？说的更确切 一点，对任意的 ，是否仍有 按照第二行展开 按照第三行展开 通过该例，我们发现，行列式按照任何一行展开其值都是一样的。这并不是偶然的巧合，而是所有情况均如此，有下面的定理。 定理：n 阶行列式的值等于第 i 行的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 正因为如此，我们计算行列式时，原则上可以按照任何一行进行展开，但直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成 n 个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。 如 可按第二行展开 上一节，我们引进了行列式的定义，也试着根据定义计算了几个行列式。从中可以看出，按照某一行展开计算行列式是比较麻烦的，特别是当行列式的阶数增大时，计算量迅速增加，如果要读者根据定义来计算一个10阶行列式，恐怕没有一个读者有耐心把它算完，而要计算一个20阶的行列式，既使用高速计算机也要计算很长时间。因此，有必要来研究行列式的性质，使得实际计算成为可能。不仅如此，行列式的基本性质也为求解线性方程组提供了工具。在本节里我们将不加证明地介绍几个行列式的性质。 4、行列式的性质 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 称为D的转置行列式 推论：行列式按行展开与按列展开是一样的，即 性质2：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 记法 第 i 行乘以 k： 第 j 列乘以k: 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 若行列式有一行（列）的元素全为零，则行列式等于0 。 性质3：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 s行 t行 记法 行列式的第 s 行： 行列式的第 s 列： 交换 s、t 两行： 交换 s、t 两列： 推论1： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 推论2： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。 如 性质4： ＋ 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。 性质5：行列式的某一行（列）