2004—数三真题标准答案及解析.doc

2004年考研数学（三）真题 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ( 0，则. (3) 设，则. (4) 二次型的秩为 . (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则_______. (6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界. (A) ((1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x)在((( , +()内有定义，且， ，则 (A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 ( x)|，则 (A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若收敛，则收敛. (2) 若收敛，则收敛. (3) 若，则发散. (4) 若收敛，则，都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得 f (a). (B) 至少存在一点，使得 f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. [ D ] (12) 设阶矩阵与等价, 则必有 (A) 当时, . (B) 当时, . (C) 当时, . (D) 当时, . [ ] (13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ] (14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分) 求. (16) (本题满分8分) 求，其中D是由圆和所围成的 平面区域(如图). (17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 ，x ( [a , b)，. 证明：. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ( 5P，其中价格P ( (0 , 20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性( 0)； (II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数 的和函数为S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分) 设, , , , 试讨论当为何值时, (Ⅰ) 不能由线性表示; (Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 . (Ⅰ) 求的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵. (22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令 求 (Ⅰ) 二维随机变量的概率分布; (Ⅱ) 与的相关系数 ;