2005—数三真题标准答案及解析.doc

2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限= . （2） 微分方程满足初始条件的特解为______. （3）设二元函数，则________. （4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则 =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件与相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设,,,其中 ，则 (A) . （B）. (C) . (D) . [ ] （9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是 (A) 收敛，发散 . （B） 收敛，发散. (C) 收敛. (D) 收敛. [ ] （10）设,下列命题中正确的是 f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值. （C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. [ ] （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为 (A) . (B) 3. (C) . (D) . [ ] （13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （14） 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是 (A) (B) (C)(D) [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分） 求 （16）（本题满分8分） 设f(u)具有二阶连续导数，且，求 （17）（本题满分9分） 计算二重积分，其中. （18）（本题满分9分） 求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x). （19）（本题满分8分） 设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a,有 （20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 （i） 和 （ii） 同解，求a,b, c的值. （21）（本题满分13分） 设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为矩阵. (I) 计算，其中； （II）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) （23）（本题满分13分） 设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记 求：（I） 的方差； （II）与的协方差 （III）若是的无偏估计量，求常数c. 2005年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限= 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 = （2） 微分方程满足初始条件的特解为 . 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 ，积分得 ， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数，则 . 【分析】 基