2013研究生入学考试数三真题及答案(打印版).doc

2013研究生入学考试 数学三真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A） （） （D） 答案：（D） 解析：（A） （B） （C） （D）　如： （2）函数的可去间断点的个数为（ ） （A）0（） f(x)= f(x)= 而f(0),f(1)无定义，故x=0,x=1为可去间断点. （3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ） （A）（）（D） 答案：（B） 解析： 故应选B。 （4）设为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若收敛（） （C）收敛，则存在常数,使存在 （D）若存在常数，使存在，则收敛 答案：（D） 解析：因为收敛，存在，则收敛。故应选D。 （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 答案：（B） 解析：∵B可逆.∴A(b1…bn)=C=(c1…cn) ∴Abi=Ci.即C的列向量组可由A的列向量组表示. ∵AB=C　∴A=CB-1=CP. 同理：A的列向量组可由C的列向量组表示. （6）矩阵与相似的充分必要条件为 （A）（B）（C）（D） 答案：（B） 解析：A和B相似，则A和B的特征值相同. ∴A和B的特征值为λ1=0. λ2=b. λ3=2. ∴|A-2E|= ∴a=0 且 当a=0时， 反之对于. （7）设是随机变量，且, 则（ ） （A）（B）（C）（D） 答案：（A） 解析： （8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为， 则 ( ) （A）（B）（C）（D） 答案：（C） 解析： 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.和在点处有公共的切线，则________。 答案：-2 解析： （10）设函数由方程确定，则________。 答案：2-2ln2 解析： （11）求________。 答案：ln2 解析:＝0+=0-ln （12）微分方程通解为________。 答案： 解析： 设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若。 答案： 解析： 取行列式得： 若(矛盾) 设随机变量X服从标准正态分布,则= ________。 答案：2e2 解析： 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分） 当时，与为等价无穷小，求与的值。 （16）（本题满分10分） 设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。 因为： 所以 （17）（本题满分10分） 设平面内区域由直线及围成.计算。 与的交点为，与的交点为。 （18）（本题满分10分） 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 解析：（1）总收入 总成本 总利润 边际利润 （2）当P=50时的边际利润为，其经济意义为在P=50时，价格每提高1元，总利润减少2000元。 （3）由于，在递增，在递减，当P=40时，总利润最大。 （19）（本题满分10分） 设函数在上可导，，证明 （1）存在，使得（2）对（1）中的，存在使得 证明：（1）因为，对于，存在,使得当时，，因此，由连续函数的介值性，存在，使得。 （2）由拉格朗日中值定理，存在使得 （20）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 解析：令，则 ， 则由得 ，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是 所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。 又 ,所以 所以 （其中为任意常数）。 （21）（本题满分11分） 设二次型，记 。 （I）证明二次型对应的矩阵为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。 证明： （22）（本题满分11分） 设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度 求的概率密度； 的边缘概率密度； 求。 解析：(I)。 （II） 当时， 所以的边缘概率密度为 （III） （23）（本题满分11分） 设总体的概率密度