3.2(二维随机变量的边缘分布).ppt

第3章 多维随机变量及其分布 3.2 二维随机变量的边缘分布 二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息: 1. 每个分量的信息，即边缘分布; 2. 两个分量之间的关系程度，即相关系数; 3. 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布; 本节先讨论边缘分布． 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数 设二维随机变量(X，Y)具有分布函数F(x，y)． X和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数FX(x)和FY(y)，依次称为二维随机变量(X，Y)关于X和关于Y的边缘分布函数． 易知 以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分量的分布函数， 但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布函数． 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数 【例3.8】设(X，Y)的分布函数为 求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)． 解：由定义知 同理可求得： 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 P{X = xi，Y = yj} = pij，i，j = 1，2，…，则 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 P{X = xi，Y = yj} = pij，i，j = 1，2，…，则 称　　　　　　　　　　　　　 为(X，Y)关于X的边缘分布律； 称 为(X，Y) 关于Y的边缘分布律． 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 【例3.9】设一只口袋中有5个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字0，现从中(1) 有放回地摸两个球，(2) 无放回地摸两个球.并以X 表示第一次摸到的球上标有的数字，以Y 表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律． 解：(1) (X，Y)所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则 同理 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下： 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 (2) (X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则 同理 于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下： 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律 比比看 对于两种情况，X，Y的边缘分布是相同的，但(X，Y)的分布不同，说明由联合分布可得到边缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分布． 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度 设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 由分布函数定义知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为 同样有 所以,Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度 称 为(X，Y)关于X的边缘概率密度． 称 为(X，Y)关于Y的边缘概率密度． 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度 【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求边缘概率密度fX(x)和fY(y)． 解：f(x，y)的非零区域如图: 【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度fX(x)和fY(y)． 解：由于的概率密度为 且 所以 故X～N(?1,?12)，同理 即Y～N(?2,?22)． 　我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数?，亦即对于给定的　　　　　　，不同的?对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布都是一样的，这一事实再次表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说不能确定随机变量X和Y的联合分布． 概念推广 * 第3章 多维随机变量及其分布 联合分布与边