4.1.1利用函数性质判断方程解的存在.ppt

提出问题 （1）求方程 的根，画出 的图像； （2）求方程 的根，画出 的图像； （3）求方程 的根，画出 的图像. 思考 （1）方程的根与函数图像和x轴交点的横坐标之间有什么关系？ （2）如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？ 3.函数零点的判定 方法1：作出函数的图像，找出图像与x轴 交点的横坐标； 方法2：分解因式（如f(x)=(x+2)(x-1)(x-3),则 函数有3个零点）； 方法3：令f(x)=0,求出方程的根； 方法4：对于二次函数，可用判别式判定. 例1: 例2: 判定方程（x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. * * * * 4.1.1利用函数性质  判断 方程解的存在 方程 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数的图象 与x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x2－2x－3=0 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 y= x2－2x+3 方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象 判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 函数的图象 与 x 轴的交点 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交点 两个不相等 的实数根x1 、x2 新课讲解： 1、函数零点的定义：把函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。 2、函数零点与方程的解的关系： 方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f（x）的图像与x轴有交点 函数y＝f（x）有零点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 函数零点的另一种定义： 注意： 零点指的是一个实数. 零点是一个点吗? 课堂练习： 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5. 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下： . . . . . x y 0 －1 3 2 1 4 8 6 2 －2 4 它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。 1(1) －x2＋3x＋5＝0 课堂练习 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . 它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。 1(2) 2x(x－2)＝－3 课堂练习 1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下： . . . . . 它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。 x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 6 4 1(3) x2 ＝4x－4 课堂练习 1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为 2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋ 2x－5 , 作出函数f(x)的图象， 如下： x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －3 －3 －4 3 －6 －5 4 －4 －2 －2 . . . . . 它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。 1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5 课堂练习 注：求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点。 有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但 用函数零点这个几何意义，来探讨方程的根的另外一种 方法是否有效呢？ 0 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x