函数极值的概念.pptVIP

首页 上页 返回 下页 * 2.3.1 函数极值的概念 2.3.2 函数极值的求法 ? 第2章 极限 2.3 函数的极值 2.3.3 函数最值的求法 2.3.3 函数最值应用举例 y x O a b y=f(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点? 观察图像： 2.3.1 函数极值的概念 设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点 如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) f ( x0 )， 则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点； 如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) f ( x0 )， 则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点； y x O 观察与思考：极值与导数有何关系？ 在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 a b y=f(x) x1 f ?(x1)=0 x2 f ?(x2)=0 x3 f ?(x3)=0 x4 f ?(x5)=0 x5 如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f ?(x0)存在，则必有 f ?(x0)?0。 取得极值的必要条件： 驻点：使导数 f ?(x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。 说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。 x y O f(x)?x3 对于函数 f(x)?x3可知， x?0是 函数的驻点，不是函数的极 值点。 函数极值的判定定理 设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ′(x0) = 0 若在点 x0 的左侧近旁 f ′(x) 恒为正； 在点 x0 的右侧近旁 f ′(x)恒为负， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ′( x0 ) (2)若在点 x0 的左侧近旁 f ′(x) 恒为负； 在点 x0 的右侧近旁 f ′(x)恒为正， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ′( x0 ) y x O x1 x2 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 2.3.2 函数极值的求法 (1) 确定函数的定义域； 求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (2) 求出导数f′(x)； (3) 令f ′(x)=0，求出 f (x)的全部驻点； 用驻点把定义域划分为部分区间， 考察每个部分区间内 f ′(x) 的符号， 以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。 例 求 (4) 列表讨论，如下： x f ′(x) f (x) (－∞,－2) + －2 0 (－2 , 3) － 单调减少 3 0 (3 , + ∞) 单调增加 函数在 x = －2处取得极小值－62 在 x = 3处取得极大值16.5 的单调区间和极值. 解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)； (2) f′(x) =－3x2 + 3x + 18 (3) 令 f ′(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3 － 单调减少 极小值－62 极大值16.5 2.3.3 函数最值的求法 y x O M a b y=f(x) m x1 x2 x3 x4 x5 问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？ 观察极值与最值的关系： x O y y?f(x ) a b x O y y?f(x ) a b 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。 函数的最值一般分为两