4.1矩阵的对角化.pptVIP

* * 第四章 矩阵的对角化 本章讨论的问题： 方阵的特征值与特征向量的概念 相似阵及性质，相似对角化 特征值与特征向量的性质及计算 正交阵与实对称阵的相似对角化 1 特征值与特征向量的概念 上述定义可以在任何数域上考虑，如在复数域上考虑 定义 设 A 为 n 阶实矩阵 ，如果存在实数 与 n 维非零实列向量 X ，s.t. 则称 是矩阵 A 的特征值，X 是对应于特 征值 的特征向量。 §4.1 方阵的特征值与特征向量 称 的多项式 为矩阵 A 的特征多项式 称 的方程 为矩阵 A 的特征方程 有非零解 实矩阵 A 有特征向量 X , 对应的特征值为 A 的特征多项式是首项系数为1的 的 n 次 多项式， 其系数完全由矩阵 A 的元素所确定。 称 的多项式 为矩阵 A 的特征多项式 定义（特征多项式） 特征值的个数：由代数学基本原理，对于 n 0 的 n 次实系数多项式在复数域中恰有 n 个零点, k 重零点算作 k 个零点。但是实 矩阵可能有复特征值，例如 的特征方程的根为复根 的基 对应于同一个特征值的特征向量有无穷多个。 只要求出齐次线性方程组 础解系，即可求出所有的特征向量 特征子空间 2 特征值与特征向量的计算 步骤： 1° 求出矩阵 A 的特征多项式与所有的特征 值，设 A 有 s 个不同的特征值 求出齐次线性方程组 2° 对每个特征值 的基础解系 则 所对应的全体特征向量为 不同时为零 例 设 求 A 的特征值与特征向量 解 特征值为 对 解齐次线性方程组 其基础解系为 则 对应的全体特征向量为 对 , 解齐次线性方程组 其基础解系为 则 对应的全体特征向量为 不同时为零） 矩阵可能有重特征值 一个特征向量唯一对应一个特征值， 一个特征值对应的特征向量有无穷多个， 线性无关的可以不止一个 若矩阵各行元素之和为常数 a ， 则 A 有 一个特征值 a , 对应的一组特征向量为 例 设 求 A 的特征值与特征向量 解 特征值为 对应的全体特征向量为 对应的全体特征向量为 例 设 求 A 的特征值与特征向量 其中 a, b, c 是3个不相等的实数， 解 特征值为 对应的特征向量分别为 若 a = b = c , 情况如何？ 3 特征值与特征向量的性质 特征值与矩阵 A 的关系: 设 n 阶矩阵 A 的特征方程的根为 则 定理4.1 1 矩阵 A 可逆 0 不是 A 的特征值 是对应的特征向量 则 是 A-1 的特征值， 是对应的特征向量 是 A*的特征值， 2 若矩阵 A 可逆， 是 A 的特征值， 是对应的特征向量 特征值的性质 是对应的特征向量 1) 是 kA 的特征值， 是对应的特征向量 2) 是 Am 的特征值， 3) 是 的特征值， 是对应的特征向量 令 若 则 是对应的特征向量 3 若 是 A 的特征值， 则