4.5 等价关系与偏序关系.pptVIP

4.5 等价关系与偏序关系 等价关系的定义与实例 等价类及其性质 商集与集合的划分 等价关系与划分的一一对应 偏序关系 偏序集与哈斯图 偏序集中的特定元素 等价关系的定义与实例 等价关系的验证 验证模 3 相等关系 R 为 A上的等价关系, 因为 ?x∈A, 有x ≡ x(mod 3) ?x, y∈A, 若 x ≡ y(mod 3), 则有 y ≡ x(mod 3) ?x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有 x≡z(mod 3) 自反性、对称性、传递性得到验证 A上模3等价关系的关系图 等价类 等价类的性质 实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}， [2]=[5]=[8]={2,5,8}， [3]=[6]={3,6} 以上3 类两两不交， {1,4,7}?{2,5,8}?{3,6} = {1,2, … ,8} 商集 集合的划分 例题 例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：  π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ?,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 则π1和π2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分. 为什么？ 等价关系与划分的一一对应 等价关系与划分之间的对应 实例 实例（续） 根据 x,y 的 x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将A?A划分成7个 等价类： (A?A)/R={ {1,1}, {1,2,2,1}, {1,3, 2,2, 3,1}, {1,4, 2,3, 3,2, 4,1}, {2,4, 3,3, 4,2}, {3,4, 4,3}, {4,4} } 偏序关系 相关概念 相关概念（续） 盖住：设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果 x ? y且不存在 z?A 使得 x ? z ? y, 则称 y 盖住x. 实例：{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系, 2 盖住 1, 4 和 6 盖住 2. 4 不盖住 1. 偏序集与哈斯图 哈斯图实例 哈斯图实例（续） 偏序集的特定元素 特殊元素的性质 对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在 多个. 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元，也是极大元. 偏序集的特定元素(续) 特殊元素的性质 下界、上界、最大下界、最小上界不一定存在 下界、上界存在不一定惟一 最大下界、最小上界如果存在，则惟一 集合的最小元就是它的最大下界，最大元就是它的最小上界；反之不对. 实例 * * 定义 设 R 为非空集合上的关系. 如果 R 是自反的、对称的和传递的, 则称 R 为 A 上的等价关系. 设 R 是一个等价关系, 若x,y∈R, 称 x 等价于y, 记做 x～y.? 实例 设 A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系 R： R = { x,y | x,y∈A∧x≡y(mod 3) }其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模3相等, 即 x 除以3的余数与 y 除以3的余数相等. 设 A={1,2,…,8},  R={ x,y| x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 定义 设R为非空集合A上的等价关系, ?x∈A，令[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x]. 实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6} 定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则 (1) ?x∈A, [x] 是A的非空子集. (2) ?x, y∈A, 如果 x R y