信号与系统第3章.pptVIP

3.3 卷积和 * 信号与系统 第3-*页 ■ ?南京信息工程大学滨江学院 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应 3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 点击目录 ，进入相关章节 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式： 3.1 LTI离散系统的响应 （1）一阶前向差分定义：?f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （4）二阶差分定义： ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: ?mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m) 因此，可定义： 3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) (1) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 3.1 LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) (1) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根λ为单根时，齐次解yh(k)形式为： Cλk 当特征根λ为r重根时，齐次解yh(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk 3.1 LTI离散系统的响应 2. 特解yp(k):激励的形式决定特解的形式 （1） 激励f(k)=km ①所有特征根均不等于1时; yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时; yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0] （2） 激励f(k)=ak ①当a不等于特征根时; yp(k)=Pak ②当a是r重特征根时; yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak 例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可