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第七章 结构动力学问题有限元 §7-1 引言 工程结构常常受到随时间变化的动载荷作用，因而，结构在动力载荷作用下的响应分析在工程结构 分析中占有十分重要的地位。现在由于计算机以及相应数值分析方法，特别是有限元的发展，使得各种 复杂结构或机械的动力分析成为可能。动力分析与静力分析的主要区别在于：结构在动载荷作用下，位 移、速度、应变、应力都是时间的函数，结构除了空间区域的离散外 （与静力问题相同），还需对时间 域离散，这是动力分析面临的一个新问题。 此外，有的结构或构件虽然受到的动载荷并不显著，按其大小可以忽略不计，但由于作用力的频率 与结构的某一固有频率接近，往往使结构产生显著的振幅，在其内部产生很大的动应力，以致使结构产 生不允许的变形、甚至破坏。因此，需要计算结构自由振动下的固有频率和振型，并且研究结构的自由 振动对于求解结构的动力响应问题也是十分重要的。 §7-2 结构离散体的动力方程 下面以三维实体有限元动力分析的一般情况为例，简述其分析步骤： 1、连续区域的离散化 由于引入了时间坐标，结构动力分析所处理的是四维 （x ,y , z ,t ）问题。在有限元分析中一般采用 部分离散的方法，即只对空间域进行离散，其离散步骤与静力分析相同。 2、插值函数 对空间域进行离散，单元位移场的插值函数为 n     u x ,y , z ,t N x, y , z u t i i i 1 n vx ,y , z ,t  N x, y , zv t  （7-2 -1） i i i 1 n wx ,y , z ,t  N x, y , zw t i i i 1 或写成 e {u} [N ]{} [N ]{t} （7-2 -2 ）  i i e 式中，[N ] 为形函数矩阵，{(t)} 为单元节点位移列阵，在动力分析中，节点位移与时间t 有关。 3、单元分析 利用几何方程，可得单元应变与节点位移的关系 e e {} [L ]{u} [L ][N ]{t} [B ]{t} （7-2 -3） 利用物理方程，可得单元应力与节点位移的关系