1.1.1.1.12变化率之导数的概念.pptVIP

* 导数是自变量的变化率，它是研究函数的单调性、最值、图象等等的一种工具，熟练地掌握这种工具能较好的解决函数的有关问题。 下面我们从变化率的学习入手来理解掌握导数这一工具。 问题1：气球膨胀率 在吹气球的过程中可以发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 思考1：当空气容量V从0L增加到1L , 气球的平均膨胀率是多少？ 类比：当空气容量V从1L增加到2L , 气球的平均膨胀率是多少？ 结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。 预习展示（一） 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: 在0 ≤t≤0.5这段时间里, 在1≤t≤2 这段时间里, 预习展示（一） 我们将式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则 平均变化率的定义 可正可负 可零 不可零 概念理解一 概念理解二 (2)平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 在高台跳水问题中计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 思考探究: (1)不是静止的； 探讨结论： （瞬时速度：物体在某一时刻的速度称之为瞬时速度。） 需要用瞬时速度描述运动状态。 阅读（课堂回顾性阅读）课本P4至P5探究上方，回答下面问题。 1、运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？ 2、函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是怎样表示？ 导数的定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值 一差、二化、三极限 例1:将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位:0C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义, 所以, 同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 0C/ h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 0C/h的速率上升.