11结构的稳定计算.ppt

行列式D = 0 得稳定方程 当给定 各比值后，代入上式即可得出临界荷载值。 2) 自重作用下 根据边界条件，可设定结构近似位形曲线为 在只考虑弯曲变形时，结构的应变能为 微段上重力的荷载势能为 全杆自重在结构变形中势能为 再应用驻值条件，即可求得临界荷载 精确解 误差为5.5% 11.4.4 变截面杆件的稳定 阶形柱的稳定问题 两杆段的微分方程为 即 可得通解为 边界条件为 当 时， ，由此得 当 时， ；当 时， 与此相应的稳定方程为 将上面的行列式展开，得 本章小结 （1）结构的失稳有两种形式：分支点失稳和极值点失稳。分支点失稳讨论的主要对象，是“理想柱”（属理想体系），当荷载达到一定数值时，引起变形状态的质变而使结构失去稳定；极值点失稳讨论的主要对象是“工程柱”（属非理想体系），是指荷载达到一定数值时，变形持续增大而令结构失去稳定。 （2）本章主要讨论的是小挠度理论下线弹性结构理想体系的稳定分析。分析方法根据临界状态下的静力特征和能量特征建立，即静力法和能量法。 （3）临界状态的静力特征是平衡状态的二重性。静力法的基本方程是关于稳定自由度（即确定体系任意可能位形所需的独立坐标参数）的齐次方程，在有限自由度体系中为齐次代数方程，在无限自由度体系中齐次微分方程。根据齐次方程解答的二重性条件，可得到稳定的特征方程并据此解出特征荷载和临界荷载。 （4）临界状态的能量特征是，当荷载为特征荷载时，体系势能为驻值，且位移有非零解。根据势能驻值原理可解出特征方程和特征荷载。能量法在计算时，可以通过设定体系的位形函数，从而把无限自由度体系简化为有限自由度体系计算，避免微分方程的求解。 土木工程专业系列教材 出版社 科技分社 再见 * * * * * * * * * 要最终判别体系平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能函数作更进一步的分析。 第1步，根据自由度设定体系可能位形 第2步，在当前自由度的可能位形上，体系的应变能： 荷载势能为（以未变形状态为势能零点）： 第3步，体系的势能为： 第4步，本例为单自由度体系，势能的一阶变分等于零，即 即 上式与例11.1中得用静力法推导得出的式(b)完全相同。 第5步，势能函数与体系平衡状态之间的关系，如图所示。 (a) 稳定平衡状态　　　　　　　(b) 随遇平衡状态　　　　　　　　(c) 不稳定平衡状态 可知，势能函数取驻值时，势能二阶变分取值与体系3种平衡状态的关系为： 11.3.2 用能量法求有限自由度体系的临界荷载 【例11.5】试用能量法重解图示具有两个自由度体系的临界荷载。 【解】(1) 假设失稳形式，根据体系约束和位移自由度设定体系位形 (2) 建立势能函数 应变能： 荷载势能： 由总势能： (3) 应用势能驻值条件 即 经整理，可得 上式就是前例11.2中导出的式(a)，能量法以下的计算步骤与静力法完全相同（这里从略），最后得 11.3.3 用能量法求无限自由度体系的临界荷载 首先，确定体系应变能： 其次，求荷载势能： 可得 可得势能泛函 将势能驻值条件应用于无限自由度体系时，是一个泛函的变分问题，计算过程复杂。下面介绍的李兹法，可有效地使问题得到简化。 从静力法和能量法的求解思路中，可以理解到体系的可能位形决定着对应的临界荷载。因此，在李兹法求解过程中，采用线性无关函数序列的线性组合来代替真实的微弯失稳的曲线函数。 无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系。因而，只需要使用一般微分计算，最后用代数方程，即可求出无限自由度体系的临界荷载。 【例11.6】试用能量法近似求解图11.16所示简支弹性压杆的的临界荷载。 【解一】(1) 按表11.1，假定位形曲线为抛物线，即 相当于在式（11.5）中只取一项，容易看出，此曲线满足简支压杆的边界条件。由于曲线形状已定，只要给定a的数值，就可以惟一确定位形，即是以单自由度体系（变量a）的二次曲线来近似表示原无限自由度体系。 (2) 计算势能函数 (3) 应用势能驻值条件 (4) 计算临界荷载 误差为+21.6% 精确解 【解二】(1) 假定位移曲线为横向均布荷载q作用下的挠曲线 同样是以单自由度体系（变量q）的二次曲线来近似表示原无限自由度体系 。 (2) 计算势能函数 (3) 应用势能驻值条件 (4) 计算临界荷载 精确解 误差为+0.1256% 【解三】(1) 假定位移曲线为正弦曲线 以单自由度体系（变量a）的正弦曲线来表示原无限自由度体系。 (2)