2010届高三上学期一轮复习教学案及抢分训练导数的实际应用.docVIP

第3讲 导数的实际应用 ★ 知 识 梳理 ★ 利用导数解决生活、生产优化问题 ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。 2.难点：建模的过程 3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题. （1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题 问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v. 点拨：利用导数的物理意义解决 设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则 ∵， ∴ ∴,又,∴ ∵,∴人影长度的变化速率为. （2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型. 问题2. （2006·江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？ [剖析]设为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为 （单位：） 于是底面正六边形的面积为（单位：） 帐篷的体积为（单位：） 求导数，得令解得(不合题意，舍去),. 当时，,为增函数；当时，,为减函数。 所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点: 最优化问题 题型1.函数模型中的最优化问题 例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 【解题思路】由勾股定理建模. 解析 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得 =15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省. 【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单. 例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元? 思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行. 解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 2分 依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］ 4分 =－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10), 8分 显然,当x=9时,ymax=864(元), 即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分 解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378. 求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0, 解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元. 【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. 题型2:几何模型的最优化问题 【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解. 例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖如图1所示边长为的正方形，点E、F分别在边BC和CD上，、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的材料价格之比依次3:2:1. 若将此种地砖按图2所示铺设，四边形求证：四边形正方形；在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省 【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，△为等