3.2.1直线的方向向量与平面的法向量.pptVIP

直线的方向向量与平面的法向量 作业 1、作业 38分钟，训练26 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 2、预习 38分钟，训练27 3.2.2 空间线面关系的判定 * * 为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？ 一、直线的方向向量 A B 直线l上的向量 以及与 共线的向量叫做直线l的方向向量。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 二、平面的法向量 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. A l 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是 与平面平行或在平面内，则有 由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。 平面的法向量不惟一，合理取值即可。 变式： 例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。 解：由题意可得 三、平行关系： 例4 如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点 分别在对角线 上，且 求证： A B C D E F x y z M N 简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以 为正交基底，建立如图所示空间坐标系， 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c， 则可得各点坐标，从而有 又平面CDE的一个法向量是 因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE 四、垂直关系： A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F CD中点，求证：D1F 例5.在正方体 中，E、F分别是BB1,， 平面ADE 证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得： 所以 巩固性训练1 1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系. 平行 垂直 平行 巩固性训练2 1.设 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系. 垂直 平行 相交 1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= . 巩固性训练3 1．如图，正方体 中， E为 的中点， 证明： //平面AEC 练习:用空间向量来解决下列题目 2、在正方体AC ?中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB? A?D? 、D? C? 、DD?的中点， 求证：⑴平面PQR∥平面EFG。 ⑵ BD?⊥平面EFG A B C D A? B? C? D? F Q E G R P l1 l2 l1 l1 l2 l *