3.43.5二维随机变量的函数的分布.ppt

例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。 例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设 R1, R2相互独立，它们的概率密度均为 求总电阻R=R1+R2的概率密度. 解 x z z=x z=x+10 例3 设X1, X2相互独立分别服从参数为?1, ?; ?2, ? 的?分布, 即X1, X2的概率密度分别为 试证：X1 + X2服从参数为 ?1+?2, ? 的?分布. [注] ?函数: ?分布：若随机变量X的概率密度为 ?分布的性质：若X1 ~?(?1, ?)， X2 ~?(?2, ?)，且相互独立，则 X1 + X2 ~?(?1+?2, ? ). [注] ?函数: 则称X服从参数为?, ?的?分布.记为 X~?(?, ?). 若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi 服从参数为?i , ? (i=1,2,…n)的?的分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为?1+?2+...+?n, ?的?分布. 一般结论： 当 z 0 时, 证： A 亦即Z=X1+X2服从参数为?1+?2, ?的?分布． §3.4 相互独立的随机变量 一、两个随机变量相互独立的概念 二、n个随机变量相互独立的概念 它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 一、两个随机变量相互独立的概念 两事件A,B独立 指 P(AB)=P(A)P(B) 定义１ 设F(x, y), FX(x), FY(y) 分别是二维随机变量(X,Y) 联合分布函数及边缘分布函数．若对所有 x, y 有 　　　　　　　　　　　 即 则称随机变量X与Y是相互独立的. 说明 (1) 若离散型随机变量 ( X, Y ) 的分布律为 教材上称为“几乎处处成立”，含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立. (3)定理 设随机变量X与Y相互独立，令 其中 为连续函数，则U与V也相互独 立． (2)二维正态随机变量X与Y相互独立 证: 必要性 对任何 x,y 有 取 X与Y相互独立 附： 故 将 代入 即得 所以X与Y相互独立 充分性 例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 X Y 0 1 0 0.04 a 1 b 0.64 若X 和Y相互独立,则 a=_______ b=_______ 0.16 0.16 图 例2 学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在7~9时,设两人 到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过 5分钟的概率． 解 设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻 由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为 7 9 7 9 G x O y G1 返回 证: 对任何 x,y 有 取 X与Y相互独立 例3 故 将 代入 即得 所以X与Y相互独立 若对任意实数 ，均有 则称 X1, X2 , …, Xn相互独立. 设(X1, X2 , …, Xn)的分布函数为F(X1, X2 , …, Xn). 定理 设(X1, X2, …, Xm)与(Y1, Y2, …, Yn) 相互独立, 则 Xi(i=1,2,…, m)与Yj (j=1,2,…, n)相互独立.又若 h, g为 连续函数, 则h(X1,X2 ,…,Xm)与g(Y1,Y2 ,…,Yn)相互独立. 若对任意实数 x1, x2 , …, xm ; y1, y2 , …, yn 均有 则称 X1, X2 , …,Xn与Y1, Y2 , …, Yn相互独立. F(x1,…,xm , y1,…,yn)=F1 (x1,…,xm )F2(y1,…,yn) 二、n个随机变量相互独立的概念 §3.5 二维随机变量的函数的分布 Z=X+Y 的分布 三、最大值、最小值的分布 一、 离散型随机变量的函数的分布 二、 连续型随机变量的函数的分布 例1 设(X,Y)的分布律为 X Y 0 1 2 -1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 解 (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) -1 0 1 2 3 4 (X,Y) Z=X+Y Z=XY 0.2