3.4二维r.v.的函数分布.ppt

例如，X ~ N(0,1), Y ~ N(0,1), X ,Y 相 互独立， Z = X 2+Y 2 , 则 自由度为2 的? 2分布 称为 (4) 极值分布：即极大(小)值的分布 离散随机变量的极值分布 可直接计算 仅就独立情形讨论极值分布 max{X ,Y } P 1 0 0.75 0.25 例5 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的 0-1分布. 求 M = max{X ,Y }的概率分布 解 Y X pij 1 0 1 0 0.25 0.25 0.25 0.25 例5 设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x), Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y }, 求 M ,N 的分布函数. * §3.4 二维 r.v.函数的分布 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 转化为( X ,Y )的事件 §3.4 问题 方法 求 Z = g( X ,Y )的概率分布 当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散 当( X ,Y )为连续r.v.时， 其中 的几何意义： Dz 例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为 X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 离散型二维 r.v.的函数 离散型 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 故得 P X+Y -2 -1 0 1 2 P X - Y -1 0 1 2 3 P X Y -2 -1 0 1 P Y /X -1 -1/2 0 1 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 具有可加性的两个离散分布 设 X ~ P (?1), Y ~ P (?2), 且独立， 可加性 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 则 X + Y ~ P(?1+ ?2) X ~ P(?1), Y ~ P(?2), 则 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ?, Poisson分布可加性的证明 问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的d.f. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件 建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f. 二维连续r.v.函数的分布 连续型 (1) 和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则 ? z ? z x +y= z 或 特别地，若X ,Y 相互独立，则 或 或 称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 例2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为 Z = X + Y ,求 f Z (z) 解法一（图形定限法） 显然X ,Y 相互独立,且 例2 z 1 z = x z-1 = x x 2 1 解法二 从分布函数出发 x+y = z 当z 0 时， 1 y x 1 当0 ? z 1 时， y x 1 1 x+y = z ? z ? z x+y = z 当1? z 2 时， z-1 1 y x 1 ? z ? z 1 y x 1 x+y = z 2 2 当2 ? z 时， 例3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为 Z = X + Y ,求 f Z (z) 解法一 （图形定限法） 由公式（1） 例3 z x z = x z = 2x x = 1 1 2 当 z 0 或 z 2 , z z z z