3n+1问题的证明方法辨析.docVIP

问题的证明方法辨析 郝生旺 （内蒙古科技大学包头师范学院 包头 014030） 内容摘要 对问题的证明思路，从整体证明的不同方法开展了讨论和分析；绘制出了问题相应的叠代数列的整体有向图的反向图，给出了直接整体证明思路的来源。 关键词 整体证明 有向图 拙文《问题的直接证明》（见中国科技论文网，数学类）的探求和写作过程中，相应地也对问题的证明方法开展了讨论和分析，现把部分心得和体会公布出来，以与关心此问题的读者一并征询意见，进行更加深入的探讨和交流。 此文中就称《问题的直接证明》为原文，其相关数学符号也仍保持与原文相同的含义，文中不再另加说明。 问题（或称猜想）就可表述为：由递推映射 所确定的叠代数列集合，应具有整体性质，即对，均有。 一般地说，整体性质的证明有两种思路可考虑，一种便是由个体的证明归纳得到整体性质，另一种便是不依赖于个体直接从整体出发给出相应的证明。前一种可称为间接证法，后一种便是直接证法。 一、间接证法——数学归纳法的不可行性讨论 对于问题这样的在自然数集上成立的整体性质，首选的证法便是数学归纳法，而采用数学归纳法的关键条件是要满足： ，这里的表示的是。 这表明要利用数学归纳法证明，就必须对，在保持且的同时，还需找出对的相依的关系。 利用在中奇偶项值相互转换作用，可得等价的条件： 对，且。这样，数学归纳法不可行时，只要找出，使与间不存在相依关系即可。 在原文中例3具体计算了和，即取.而且在和项值取上值之前，相互无依存关系。所以原文中的例3正说明了对问题的证明，试图采用数学归纳法是不可行的。 当然，在证明时采用数学归纳法不可行，并不能表明在具体的证明过程中，数学归纳法也失去效用。事实上在原文中，均为无限项数列，就只能用数学归纳法给予确认。 但是即使在抽取奇数子列后，问题证明结论转为，整体上采用归纳法仍是不可能的。例如： 这里的与，除去75是73的相邻后继奇数和均含1为项值外，其相依关系便无法寻找。而原文中共尾数列的相关内容，便是得到这一结论的依据。 总之，想利用数学归纳法证明整体性质或，以寻求相邻的两个叠代数列与、或者与之间的相依关系是不可能的。所以间接证法——数学归纳法对问题整体性质证明就失去了效用。 二、中项值大小的变化趋势讨论 原文中借助于抽取奇数子列的方法，在中减缩掉所有偶数项值，只保留全部奇数项值后，进而把证明范围确定为，相应得到递推映射为： 这样问题要求证明，也就是。 问题的直接证法，寻求的是中每一个叠代数列均能具有的性质，即以的整体性质为证明方法的出发点，并用整体性质展开证明，直至得到结论所要求的整体性质。 由于问题结论成立时，对中的项值在取之前的项数总是有限的，而且这些项值互不相等。这是应具备的基本的整体特征。所以，证明问题，首先就要讨论的结构性质。而首选的办法便是比较项值的大小，寻找中项值的变化趋势。 利用映射便可知中相邻两项值间的关系： 设当时得；当且时得。这表明中，邻项间的项值既可增大，也可减小，这是认识其项值大小变化规律的基本条件。 一般地表示奇数时，可有 （1）为偶数；（2）为奇数。 定理1 当时，存在，使且。 证明：表示，由知为偶数。 利用自然数质数分解的唯一性得即。由得且 、；并有. 定理1表明，中当其含有一个的项值时，中往后的项值经有限次递增后，总会出现一个下降的项值，即中项值不会无限的递增下去，总会转为下降的项值存在。但下降的趋势又如何呢？这需要细致的分解来看。 当时，便有 当时，便如： 等。 上列情形已经表明，在中当且时，或均可能出现，即以后的项值既可递增也可递减，中项值下降的趋势随项值的不同而变化，没有固定的变化趋势。 下面以，即可表为实例进行讨论。由于 当时，利用因数分解法可表示，即时，取；当时，。 定理2若，并表，则且：当时；当时。 证明：由及知，利用得且. 由知并有. 又由知。 把表示为或。 当时，取，这时，利用，得。 当时，这时由且，即只有。 定理2进一步说明了，中项值大小的下降趋势，既存在连续下降的可能，也存在止降反升的可能，这要由项值的具体取值所决定。由此可见，试图用项值比较大小的方法来认识的整体构造特征，将是十分困难的，甚至是不可行的。 同样需要指出的是，比较项值大小的方法，在认识整体构造特征时失去效用，但在个别性质的证明仍可使用并发挥相应作用。 三、《问题的直接证明》中证明方法简述 如前所述，问题的直接证明方法，就是从认识的整体性质为思路的出发点，并经整体性质的逐步演化深入，直至得到。证明过程中所列出的具体叠代数列仅是用以说明和验证整体性质的实例。 1、以叠代数列概念为基础，经过整体的转换，确定了问题最终的证明范围，并为讨论整体构造性质建立了基本条件。 最终确定的证