4_2第二节方差及常见分布的期望方差.ppt

数学期望的性质(复习) 性质1 E（C）= C ； 其中C为常数． §4.2 方 差 定义 设X是随机变量，如果E{[X—E(X)]2}存在，则称E{[X-E（X）]2}为X的方差，记为D(X)即 例2．设随机变量X具有概率密度 6. 方差的性质 性质1 D(C)= 0 作业： 112页 10, 11,12 《概率统计》 下页 结束 返回 下页 1.离散型 2.连续型 3.Y= g(X) Z=g(X,Y) 复 习 二维离散型数学期望的计算: 分两步进行 下页 1.离散型 2.连续型 Y= g(X) Z=g(X,Y) 复 习 Y= g(X) Z=g(X,Y) 下页 性质2 E（CX）= C E（X） 性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y） 性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）= E（X）·E（Y） 推广 （1）E（X1+X2+…+Xn）= E（X1）+E（X2）+…+E（Xn） 若X1，X2，…，Xn相互独立， 则 E ( X1 X2 … Xn）= E(X1) E(X2) … E(Xn) （2）E（C1X1+C2X2+…+CnXn）= E(C1X1)+E(C2X2)+…+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+ … + CnE(Xn) 特别 E（E（X））= E（X） 0. 方差概念的引入 随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量 取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的. 引例1：从甲、乙两车床加工的零件中各取５件，测得尺寸如下： 甲：8，9，10，11，12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好？ 以X甲 ，X乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度. 易得：E(X甲) =E(X乙)＝10。 虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有显著 差异，甲加工的零件只有１件合格，乙加工全合格. 10 8 11 9 12 10 考虑 E(|X-E(X)|) E{[X-E(X)]2} 下页 引例2．有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？ 解： =9.2(环) =9.2(环) 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两人射击水平的稳定性是有差别的。 这表明乙的射击水平比较稳定. 下页 偏离期望平方的期望 1. 方差的概念 并称 为X的标准差或均方差记为σ(X) 。 D(X)=E{[X－E(X)]2} 下页 2. 方差的实际意义 随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度．若 较小，则X取值比较集中，否则，X取值比较分散．因此，方差 是刻画X取值分散程度的一个量(波动性大小)． 其中P{X=xk}=pk k=1,2,3,…. 连续型随机变量 ò +￥ ￥ - - = dx x f X E x X D ) ( )] ( [ ) ( 2 离散型随机变量 3.方差的计算 4. 方差计算公式 公式 下页 = E(X2) - [E(X)]2 4. 方差计算公式 公式 证明： D（X）= E{[X - E(X)]2} = E{X2 - 2X·E(X)+ [E(X)]2} = E(X2) - 2E(X)·E(X)+ [E(X)]2 例1．设随机变量 X～（0-1）分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D(X) 解：因 E(X)= p， 而 E(X 2)= 12·p + 02·q = p， 于是 D(X)= E（X 2）- [E（X）]2 = p - p2 = p q 下页 , 求D(X). 所以 解： 下页 或 1 6 ) ( ) ( )] ( [ ) ( 2 2 = = - =    dx x f x dx x f X E x X D 例3. 解： 下页 因为 从而 下页 5. 常见分布的期望与方差 1) 0 -1分布 概率分布为