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Rayleigh提出： Rayleigh阻尼或比例阻尼。 自由振动 与单自由度系统的自由振动解类似，得到N个独立主坐标下的运动 矩阵形式 进而可得物理坐标下系统的自由振动 式中  为比例阻尼系统因各自由度单位初始位移或单位初始速度引起的自由振动矩阵。 如果比例阻尼系统的初始条件满足 其自由振动将是衰减振动 这称为第r阶纯模态自由振动。 7、无阻尼系统的受迫振动 时域分析 A、单位脉冲响应矩阵 应用主坐标变换 * 第二章 动态系统分析 1、振动分类 自由、受迫和自激振动。 自由振动——没有强迫振动下发生的振动。 受迫振动——作用于系统的外力引起的振动。 自激振动——具有周期特点的确定性振荡。 其周期性振荡产生于振动系统本身。 如振动被抑制，则激励消失。 相反，在受迫振动中，激挠力与 振动系统本身无关，即使振动被抑制， 仍对系统有激扰作用。 2、单自由度系统振动 单自由度系统振动方程的一般形式： 自由振动方程： 设解为： 特征方程：  特征根：  为便于分析，引入一量纲为1的参数 即 定义 临界阻尼系数 —阻尼比。于是有： 显然，对于不同的阻尼比，上式将给出实特征根或复特征根。 （1）过阻尼情况（ ） （2）临界阻尼情况（ζ=1） 这时特征根是一对相等的实根。 （3）欠阻尼情况（0ζ1） 这时特征根是一对共轭复根。 方程的通解是：  式中：  系统的阻尼振动频率或自然频率。 3、受迫振动 （1）简谐力激励下受迫振动的解 运动方程： 其解应为齐次方程通解和非齐次方程的一个特解叠加而成，即 分别满足下述方程 方程通解： 特解： 代入可得： 比较两式系数，可得： 稳态振动响应 4、周期激励下的振动分析 （1）周期函数的Fourier级数展开 若u(t)为周期函数，且设常数T0为其最小正周期，则 u(t+T0)=u(t) 根据数学分析，如果函数u(t)在T0内只有有限个第一类间断点和极值点，则可展开为Fourier级数  （2）周期激励下的受迫振动 周期激励下的单自由度系统 f(t)以T0为周期。将f(t)展开为Fourier级数，代入求解。 同前，方程的解由特解和通解相加而成。现着重讨论系统稳态振动的特解。方程总的特解为： 5、瞬态激励下的振动分析 具有瞬时性、无周期性的激励—瞬态激励。 求解该问题的基本思路仍采用线性叠加法，把激励f(t)沿时间轴划分为等间隔的一系列小曲边梯形的组合，求出小曲边梯形对应激励的响应，再将其叠加获得总激励引起的响应。 自由振动的解： 用h(t)代替u(t)，称为单位脉冲响应函数，即 若不在时刻t=0，而在t-τ，则冲击响应将滞后时间τ，有 冲量为f(τ)dτ 产生的响应h(t-τ) f(τ)dτ，所有脉冲激起的系统响应总和为： 杜哈梅积分或卷积积分。 系统响应解 6、多自由度系统的振动 使用矩阵形式的微分方程有： A、无阻尼系统的自由振动 (1) 固有频率与主振型 设解为  振型方程 化为标准特征值振型方程 其中 称为特征值。 上式要使{X}不全为零，则有 称为频率方程或特征方程。 其展开式是λ的n次代数方程。 [M]是正定实对称阵，[K]是正定或半正定的实对称阵，系统只能在稳定平衡位置附近作微幅振动。 主振型 齐次方程，其系数行列式为零时，各 绝对值不能确定。但其相对比值 是完全能确定的。 这一比值称为系统矩阵[S]特征矢量，也称主振型。 主振型的正交性 一个n自由度的振系，具有n个固有振型，这些振型之间存在着关于质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]的正交性。 设振系第i个与第j个振型矢量分别为{Xi}与{Xj}，按振型方程有 分别前乘{Xi}T与{Xj}T有 因[K]与[M]均是对称阵，故将上式转置后为 两式相减有 若λi≠λ