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* * 朗文香港教育主辦 數學教學三稜鏡 教學工作坊（六） 評估與教學 數學評估的討論 主講：鄭振初先生 香港教育學院數學系高級講師 王子要找回舞會中的漂亮女孩，於是他發下重誓，那一個女孩子能穿上玻璃鞋，便是他的王妃，可惜，灰姑娘在離開皇宮時把腳弄腫了，當王子的手下為她試穿鞋時，她竟然穿不上。反而是全城最平庸的一個女孩子能穿上玻璃鞋…… 王子為甚麼要定下一個這樣「客觀」的標準來選出王妃，而不是憑他的主觀審美標準？ 童話故事 Mr. Keating 在一間中學的課堂上著學生打開書本的某一頁，並說：「書上是這樣寫的，詩的評估有兩方面，一是靈性，二是創意。把這兩個數相乘，便是這首詩的成就，得出的數值愈大，面積愈大，這首詩的成就愈高。」 電影「暴雨驕陽」 今早鬧鐘響個不停，弟弟卻仍在熟睡；由此可見： a) 弟弟昨睌深夜才睡覺； b) 鬧鐘的響聲並不響亮； c) 弟弟今天一定會遲到； d) 今天早上，弟弟不用上學； e) 鬧鐘的響聲對弟弟沒有作用。 學能測驗真是這樣惡劣嗎？ 較早前最多人談論的是一條中文科的學能測驗題目： 以下的問題算不算是加減數的基本能力？ 2 ? 1 9 9 ? 4 1 ? - ? 5 3 + 6 3 4 3 ? 2 應該是思維，數學上的思維。 數學評估評甚麼？ 應該是一個人的數學能力。 數學能力是甚麼？ 因為很多思維問題是可以硬記結果的。 為甚麼難以評估思維? 8 1 6 3 5 7 4 9 2 問題： 找出分數 ，使 。 (m 和 n 都是整數。 ) 其中，1、3、7、9 各出現了 2 次。而 2、4、6、8 各出現 了 3 次。5 則出現了 4 次。 而由 1 至 9 之中取 3 個數相加得出 15，有以下的可能。 1 + 5 + 9 = 15 1 + 6 + 8 = 15 2 + 4 + 9 = 15 2 + 5 + 8 = 15 2 + 6 + 7 = 15 3 + 4 + 8 = 15 3 + 5 + 7 = 15 4 + 5 + 6 = 15 5 8 6 5 4 2 8 1 6 3 5 7 4 9 2 (i) (ii) (iii) ( □ ? □ ) + 6 = 30 □ ? 4 ? 5 = 10 2 + ( □ ? □ ) = 20 □ + ( 7 ? □ ) = 7 □ + 30 ? □ = 13 12 ? □ ? 2 = 8 思維問題： 請在 □ 內填入 0 至 9 ，而數字是不能重複的。 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 6 = 1 + 2 + 3 7 = 3 + 4 9 = 4 + 5 10 = 1 + 2 + 3 + 4 11 = 5 + 6 12 = 3 + 4 + 5 13 = 6 + 7 開放題也是可以操練的 1994 年 Midland Examining Group MEI Mathematics 學生再組出多一點的例子， 並說出這個過程是甚麼。 這一題約佔總分的 80 分之 5。 主流的紙筆式評估，（例如 TIMSS 和 PISA）。如果我們接受這些大型評估的結果（香港排名很高），我們便不應該批評紙筆式評估。 選項 以下的分數中那一個最小? 問題 1 (答對率 88%) 問題 2 的答對率是 46%，而有 39% 的學生選 (b)。 選項 以下的分數中那一個最小? 問題 2 (答對率 46%) (a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d) 較早前有一個關於專題學習的宣傳片，我們是否能說出各種貝類動物的學名？也許構思出這條宣傳片的「教育家」可以。 另一個「教育家」的問題是過於重視另類評估。另類評估的內容和題材其實非常不足，只能作為一個「另類」，而不應把這個「另類」再變成另一個主流。 數學的評估，可以簡化為兩個層次： 第一層的評估 計算和概念 實用的知識 計算和概念 事實和定義（用日常評估） 認識數學 應用 簡單思維過程 第二層的評估 數學結構 數學結構知識和關連 解難 策略 思維 建立數學模型 結合不同的數學內容 把分部的數學內容結合 獨立解題能力 題材重要些還是數學重要些？很多時用很多情景來設計問題，反而未必有用。 但為了要有情景，便設計成「一盒月餅 4 個售 128 元，一個月餅售多少元？」 討論一：有情景的題材是教學好題材，不一定是紙筆　 　 評估的好題材。 比方要考分數乘整數，128 ? 。 評估的目標定得愈小，出現的問題便愈大。以下的考卷中的 3 條問題其實是考核相同的內容。 討論二：一些題目只能考核小目標 化下列百分數為小數。 9%，35%，21.3%。 問題： 這些過程，出現在一些數學結構