第四章固有特性近似计算.pptVIP

分析第i段轴： } 4.6 传递矩阵法 { 第i段轴 左右端状态传递关系 第i个圆盘 左右端面状态传递关系 [C]i称为第i个传递矩阵 4.6 传递矩阵法 点矩阵 场矩阵 4.6 传递矩阵法 在上图的链式轴盘扭转自由振动系统中的边界条件： 第i个圆盘右端面的状态矢量 4.6 传递矩阵法 边界条件： 自由端: 固定端： 例4.9 用传递矩阵法求图示三圆盘扭振系统的固有频率和主振型。 第一个圆盘左右端的点矩阵 第二个传递矩阵 第三个传递矩阵 系统为刚体转动 主链系统： 支链系统： 分支结构的轴盘扭转振动系统，用传递矩阵法计算其固有频率和主振型。 转动惯量为 的三个圆盘所在的A轴。 转动惯量为 的圆盘所在的B轴。 4.6 传递矩阵法 4.6 传递矩阵法 传递矩阵[C]i 4.6 传递矩阵法 { 建立了1点左右两端面的状态矢量的关系 4.6 传递矩阵法 } 4.6 传递矩阵法 同理，根据 确定特征方程： 特征矢量 主振型 等直杆的精确解： 4.4 矩阵迭代法 n自由度无阻尼系统的自由振动作用力方程: 设方程的解为： 代入作用力方程，消去 得系统的主振型方程： n自由度无阻尼系统的自由振动位移方程: 设方程的解为： 代入振动位移方程，消去 得系统的主振型方程： 4.4 矩阵迭代法 系统的主振型方程： 矩阵迭代法：从假设主振型出发，对上两式进行矩阵迭代运算，从而算出系统的固有频率和主振型。 设动力矩阵 分析 迭代计算： 4.4 矩阵迭代法 第一阶固有频率和主振型的矩阵迭代运算方法： （1）任意选取一个经过归一化的假设振型 用动力矩阵[D]前乘它，并对矩阵相乘结果再进行归一化,得一新振型，即 为新振型矢量归一化后的系数。 （2）如果 就再从{A}1开始，重复上述步骤，得： 为新振型矢量归一化后的系数。 4.4 矩阵迭代法 主振型方程： （3）如果 继续重复上述步骤。 经过k次矩阵乘法运算后，得到： 在规定的有效位数内，当发现 就停止运算。 证明如下： 对于n自由度系统存在n个特征值wi2，对应有n个特征矢量{AN (i)}(设已经正则化），它们是相互线性独立的，可以构成n维线性空间的一个完备基。任何一个假设振型{A}都可以表示为n个正则振型{AN (i)}的线性组合： 4.4 矩阵迭代法 设初始假设振型{A}0表示为系统主振型{A(i)}的线性组合： 假设振型{A}0经过第一次迭代后： 4.4 矩阵迭代法 经过第二次迭代后： 4.4 矩阵迭代法 4.4 矩阵迭代法 例4.6用矩阵迭代法求例3.5中系统的第一阶固有频率和主振型。 解： 系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为： 系统的动力矩阵为： 系统的动力矩阵为： 取{A}0={1 1 1}T,进行第一次迭代： 进行第二次迭代： 继续重复迭代运算，得： 这时，有： 第一阶主振型为： 在例3.5中通过解频率方程求出的三个固有频率和主振型为： 例4.6用矩阵迭代法求系统的第一阶固有频率和主振型。 例4.1中通过瑞利能量法， 在假设振型{A}=[1 1 1]T，求得： 系统的主振型方程： 4.4 矩阵迭代法 在矩阵迭代法的证明中， 设初始假设振型{A}0表示为系统主振型{A(i)}的线性组合： 4.4 矩阵迭代法 假设振型 用 前乘上式，根据主振型的正交性，可得： 第 i 阶主质量 取： 即可在假设振型{A}0中清除前s阶主振型分量，使迭代结果收敛于第s+1阶固有频率和主振型。 4.4 矩阵迭代法 S阶清型矩阵（n*n阶） 4.4 矩阵迭代法 动力矩阵： 清型变换后的动力矩阵： 4.4 矩阵迭代法 需求第二阶固有频率和主振型时，每次迭代前须乘以动力矩阵： 需求第三阶固有频率和主振型时，每次迭代前须乘以动力矩阵： 动力矩阵的递推公式为： 此种方法适用于正定系统。 4.4 矩阵迭代法 半正定系统： 因不存在柔度矩阵，故不能用上述方法求其固有频率和主振型。 半正定系统的主振型方程： 变成： 再改为： 4.4 矩阵迭代法 系统的主振型方程 例4.7用矩阵迭代法求例3.5中系统的第二阶和第三阶固有频率及主振型。（继续例4.6） 解：在例4.6中已求得系统的第一阶固有频率的平方值和主振型为： 系统的第一阶主质量为： 系统的第二阶固有频率和主振型： 动力矩阵： 在例4.6已求出 选取第二阶初始振型为： 第一次迭代，得： 第二次迭代，得： 迭代公式 如此继续下去，得： 有 系统的第二阶主振型为： 系统的第二阶固有频率的平方为： 系统的第三阶固有频率和主振型： 第二阶主质量为： 因 选取第三阶初始振型为： 各次迭代运算的结果为： 系统的第三阶主振型为： 系统的第三阶固有频率的平方为： 例3.5的结果： 与例3.5的结果相比：频率值相同，振型稍有不同，是计算的舍入误差造成的。另