2.4有关直线和二次曲线的位置关系的技巧与方法.docVIP

2.4直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线与直线的位置关系 一、椭圆与直线的位置关系（若直线与x轴垂直则利用图像判断或消取x） 方程，直线（a≠b） 将直线代入得：，整理成关于x的一元二次方程， a）当且仅当△=0时，此时直线和曲线只有一个交点，直线和曲线相切。 b）当且仅当△0时，此时直线和曲线只有两个交点，直线和曲线相交。 二、双曲线与直线的位置关系 直线方程： 双曲线、（当或时） 综上，得：联立，得关于x的方程 当（二次项系数为零），直线的斜率正好等于该双曲线的渐近线的斜率，此时，直线和双曲线的位置关系是——相交； 当 时，直线与该双曲线只有一个交点，且相切 3、 当时，直线和曲线有两个交点。 4、当时，直线和曲线无公共点 （相离） 三、抛物线和直线的位置关系 当直线为，即，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当，设 将代入，消去y，得到 关于x的二次方程 （*） 若，相交；，相切；，相离 综上，得：联立，得关于x的方程 1、当（二次项系数为零），直线和该抛物线只有一个交点，且直线与抛物线的对称轴平行，此时，直线和抛物线的位置关系是——相交。 2、当 时，直线与该双曲线只有一个交点，且相切 3、 当时，直线和曲线有两个交点。 4、当时，直线和曲线无公共点 （相离） （直线和曲线只有一个交点： 1、 “△＝0” 2、对于双曲线，若直线与该双曲线只有一个交点，且直线的斜率正好等于该双曲线的渐近线的斜率，此时，直线和双曲线的位置关系是——相交； 3、对于抛物线，若直线和该抛物线只有一个交点，且直线与抛物线的对称轴平行，此时，直线和抛物线的位置关系是——相交。） 四、直线和曲线有两个交点： 1、在涉及到直线和曲线有两个交点的问题上，常用的方法有： 不妨设这两个交点为、 1）直线上两点的距离（曲线的弦长）公式： 2）韦达定理：将代入得： 由韦达定理可得：， （如果要用到，是不是还要再用一次韦达定理呢，其实大可不必，往下看！） 3）利用点A、B在曲线上的关系： （1）点A、B在曲线上， 故：，将两式相减并整理得：即：。 此时，若要用到AB的中点M，不妨令，则有： （2）点A、B在曲线上，故： ，将两式相减并整理得：，即：。 4）利用点A、B在直线上 因为点A、B在直线上，故： （1）若将两式相加，可得： （*）。 此时，若要用到AB的中点M，不妨令，则有：（实际上可以直线利用中点M在直线上得出，在此处只是为了强调中点M而已）。 （2）若将两式相乘，可得： （*） 结合两个（*）式，再加上韦达定理，可以得出的值。 例1、直线l：y=x+，C：，当k为何值时，l与C相切、相交和相离？直线l：y=x+，C：，当k为何值时，l与C相切、相交和相离？直线l：y=kx+1，抛物线C，当k为何值时，l与C相切、相交和相离？，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长 解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0） 由题意知：与联立消去y得： 设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理， ，又因为A、B、F都是直线上的点， 所以|AB|= 例5、 中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程 [师]根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，，最后解关于a、b 解：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得 把直线方程代入椭圆方程整理得： 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：， 又AB的中点横坐标为， ，与方程联立可解出 故所求椭圆的方程为： 例6、在椭圆上求一点,使到直线:的距离最小. [师]几何法.把直线平移至与椭圆仅有一个交点(相切),此时的点就是最短距离时的点.即设: 由,消去整理得,只有一个交点 即 得.由图形可知时最小. 再计算平行线间的距离,得,此时. 例7、已知椭圆，求的最大值。 例8、已知点M（2，1）是椭圆内的一点． （1）求以M为中点的弦所在的直线的方程及弦长； （2）求与平行的弦的中点P的轨迹方程； （3）过点M任意引直线与椭圆交A、B，求AB中点的的轨迹方程． 例9、 从椭圆,(ab0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F2PQ的面积为20，求此时椭圆的方程 解 ：∵b=c,a=c，可设椭圆方程为 ∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得, 又点F1到PQ的距离d=c ∴ ,由 故所