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2013 年北京大学保送生考试数学试题评析 厦门一中徐小平 361003 2013 年北京大学保送生考试已结束，数学试题难度较小，考查了平面几何、不等式、解析几何、数列 以及排列组合等数学知识. 1.△  ABC 内点M 满足∠CMB 100 ,线段BM 的中垂线交边 AB 于点P ,线段 CM 的中垂线交边 A C 于点Q , 已知P , M , Q 共线,求∠ CAB . 分析与解：∵BMC 100 ，∴MBC MCB 80 ，又∵P , M ,Q 三点共线， ∴BMC PMB QMC 180 ，∴PMB QMC 80 ，又∵P 在线段 BM 的中垂线上， ∴  PMB PBM ，Q 在线段MC 的中垂线上，∴QMC QCM ，∴QCM PBM 80 .   ∴CAB 180 (MBC MCB MBP MCQ) 20 近几年北京大学的保送生考试对平面几何都有所考查，如 2008 年北大保送生考试试题：求证：边长为 1 5 1 p 的正五边形对角线长为 ；2010 年北大保送生考试试题：AB 为边长为1 的正五边形边上的点．证明： 2 x 5 1 AB 最长为 ，这几个考题都相对简单，基本上是初中的平几知识的简单应用，而 2011 年北大保送生 x 2 ABC O BAO CAO CBO ACO zABC 考试数学试题：“在△ 中存在一点 ，满足 ，求证：△ y 的三边长组成等比数列”如用纯平几知识证明则难度较大比较灵活（利用共圆和相似） 2.正数a, b, c 满足a b c ，求证： a  b  c . 平 m a 1 b 1 c 1 x x x / f x f x 分析与解：设 ( ) ，则函数 ( ) 在(0, ) 上是增函数，∵a b c ， 1x 1x 小 n a b c b c b c c ∴f (a ) f (b c ) ，即    . a 1 b c 1 b c 1 b c 1 b 1 c 1 徐 此题是较为简单的一个放缩，应该几乎所有参加考试的同学都能解出 m 3.是否存在两两不同的实数a, b, c 使平面直角坐标