2013版高中全程复习方略配套课件：2.3函数的奇偶性与周期性(北师大·数学理·陕西专用).ppt

(3)选B.∵f(x)为偶函数，∴f(2x- )=f(|2x- |)， 又f(x)在［0,+∞)上单调递增, ∴由f(|2x- |)f( )得：|2x- | 解得:0x . 【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R上的解析式. 【解析】当x0时，-x0, 又x≤0时，f(x)=2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又f(-x)=-f(x), 即:-f(x)=2x2+x,∴f(x)=-2x2-x. 综上, 【反思·感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想. 【变式备选】奇函数f(x)的定义域为［-5,5］.若当x∈［0,5］时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集是_____. 【解析】由奇函数图像对称性补出其在［-5,0)上的图像，由图像知解集为(-2,0)∪(2,5］. 答案：(-2,0)∪(2,5］ 函数周期性的应用 【方法点睛】关于函数周期性的几个常用结论 (1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： ①f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； ②f(x+a)= 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周 期； ③f(x+a)= 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； (2)如果T是函数y=f(x)的周期，则 ①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)； ②若已知区间［m,n］(mn)上的图像，则可画出区间［m+kT,n+kT］(k∈Z,k≠0)上的图像. 【例3】(2011·新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实 数x满足：f(x+1)= 且当x∈［-1,1］时，f(x)=x2. (1)求f(2 012); (2)确定函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点个数. 【解题指南】解答(1)题需先由f(x+1)= 探究出函数f(x) 的周期，进而利用周期性，求f(2 012),(2)作出y=f(x)及 y=|lgx|的图像，从而使问题得解. 【规范解答】(1)∵对任意x∈R, 都有f(x+1)= ∴f(x+2)=f((x+1)+1)= ∴f(x)是以2为周期的函数， ∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0. (2)根据f(x)的周期性及f(x)在［-1,1］上的解析式可作图如下 可验证当x=10时，y=|lg10|=1; x10时，|lgx|1,因此结合图像及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图像交点共有10个. 【反思·感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化. 【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+1)=f(1-x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数; (2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013). 【解析】(1)∵f(x+1)=f(1-x), ∴f(x+2)=f((x+1)+1) =f(1-(x+1))=f(-x)=-f(x) f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴当x∈［-2,0］时，f(x)=x2+2x. 又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈［2,4］时， f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. 第三节 函数的奇偶性与周期性 三年11考 高考指数:★★★ 1.了解函数奇偶性的含义； 2.会运用基本