北京大学二零一六年保送生考试数学试题解析.docVIP

北京大学2012年保送生考试数学试题解析 武汉二中 张鹄 430010 每年一次的著名高校保送生考试，正逐渐吸引着越来越多的优秀的高中毕业生参加这项活动.为方便师生备考这项考试，笔者特将2012年北京大学保送生考试数学试题整理出来，并给出参考解答. 一、试题 1正等比数列满足，求的最小值. 2已知为一个二次函数，且成正等比数列，求证：. 3在锐角中，角所对的边分别为且，求证：的最大的内接正方形边长为 . 4从点出发引两条射线，动直线与相交于点、，线段的中点为点，且动点的轨迹为，射线及直线 围成的三角形的面积为定值. 求证：关于的角平分线成反射对称； 求证：为双曲线. 5已知，且，，求证：中至少有一个小于1. 二、解析 1、设正等比数列的公比为，则，，， 从而，，令，则，且 ，此时，即. 2、设，等比数列的公比为，则 ……. …….. ……. 由得，， 或 由得， 或 若，则结论显然成立. 若，则，，从而 若，，则两式相减得，， ，，即，从而. 3、设内接正方形为，易知正方形必有两顶点分别在的两边上，另两顶点在同一边上,不妨设 在上，在上，、在上，正方形边长为，角所对边及相应边上的高的长分别为、，三角形面积为，由得，，又，则， ；同理，其它情形的正方形边长分别为、. 及, 最大的内接正方形边长为. 4、以射线所成角的平分线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立直角坐标系.设动点，射线的方程分别为，，则由得， ，，从而.又得， ，点在射线所夹区域内，即 为的轨迹方程，由方程易知结论成立. 5、用反证法.假设均大于等于，由知 又，则，又，而 ， , 矛盾. 1