Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理的注.pdf

第10卷第1期 扬州大学学报(自然科学版) V01．10No．1 of scienceEdition) Feb．2007 2007年2月， journalYangzhouU而Vet菇ty(Nalural Banach空间中常微分方程解的 存在唯一性定理的注 邓海荣H，马兆丰2 (1．淮海工学院数理科学系，江苏连云港222005，2．浙江交通职业技术学院数学与信息工程系。杭州3llll2) 摘 要：把Banach空间常微分方程解的存在唯一性定理中解z(f)的变量f的范围f∈[f。一口，“+口]，口= min{1／K，6／M)扩大成f∈[f。一6／M．f。+6／M]．并对改进条件后的定理进行了严格证明．， 关键词：Banach空间#常微分方程；解的存在唯一性定理 中图分类号：o177．91 文献标识码：A 文章编号：1007—824X(2007)01一O001一03 常微分方程解的存在唯一性定理是常微分方程理论中最基本的定理，也是现代动力系统中最重 要的定理之一．以往人们熟悉和常用的定理[1吨】，解的存在范围比较小，因此限制了它的应用．现在 我们把限制条件放宽，扩大了解的存在范围，从而使得这个重要定理的应用‘3可]更加广泛． 定理1[8] 0 一个常数Ko使得llx(z)一x(y)lj≤Kz—yll，Vz，y∈u．取z。∈U，在u内，以z。为中心作 一个半径为6的闭球玩(z。)={z∈El0 z—z。0≤6}，对所有的z∈玩(z。)，都有Ilx(z)Il≤M．令 X(z(￡))，z(fo)一zo． 这是Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理．在本文中，笔者改进了口的限制，仅取口一 6／M，定理仍然成立，从而扩大了解的存在区间．以下定理是本文的主要结果． 定理2假设条件同定理1，且设初值为(￡。，z。)，则存在唯一的C’曲线z(￡)，对任意的f∈ ‰一6／M，￡o+6／M]，满足z(f)∈玩(zo)且z’(f)=x(z(f))，z(岛)一zo． 注：显然，一般‰一口，岛+口]c[气一6／M，f。+6／M]，其中口一min(1／K，6／M)． 证明 条件z’(f)一X(z(f))，z(如)=z。等价于积分方程 (1) ，f“ z(z)=z。+f。x(z(s))dL 得到函数z，(￡)一z。+I J，O 程(1)的解．否则，再把zl(f)代人方程(1)的右端，得到z2(￡)=z。+I J，0 z，(f)，那么z，(z)就是方程(1)的解．否则，继续这个步骤．一般地，作函数列 z。(￡)=zo+Ix(z。一1(5))出， (2) 收稿日期：2006一lO—13 基金项目t国家自然科学基金资助项目 -联系人，E—maill Ilaifongdeflg@yah0D，com．∞ 万方数据 2 扬州大学学报(自然科学版) 第10卷 司得到连绥的函数序列 zo(f)，zlO)，z2(f)，…，z。(￡)，…， (3) 以一1时，Il o x(z。(s))o出≤Mt一岛l一6．设当咒=正时有 z。(t)一z刈=0．『：。x(z。(s))ds8≤L z．(f)∈玩(z。)，则以一