DEM内插在软件开发中的应用.docVIP

数字高程模型内插在软件开发中的应用 摘 要 本文对数字高程模型（DEM）在地理信息、工程测绘软件开发中的数值内插、数据获取和数据分析应用等进行了介绍，最后对常用的计算机内插方法，如拉格朗日内插法、不规则三角网（TIN）内插、标准格网内插法进行了算法研究并编写计算机程序，最后根据工程实践，应用高程离散点建立数字高程模型对土方计算程序中的问题进行分析。 关键词 数字高程模型、内插方法、计算机编程 数字高程模型（DEM）的基本概念 数字高程模型（DEM）是指地面上按一定间距排列的规则格网上的高程数据集，它的数据标准包括头文件和数据集文件；它的主要应用是查询和分析地面高程、坡度、坡向和三维分析应用。数字高程模型一般是从野外实测地面特征点、特征线，按一定的内插方法计算出规则格网点的高程值。 从上世纪20年代起，随着计算机技术的发展，使得DEM内插的数值计算采用计算机编程求解，有些原本属于数学领域的内插方法借助计算机技术广泛应用工程实践中。 内插计算中常用的数值分析方法主要有按距离加权平均内插法、有限差分法、离散单元法和拉格朗日（Lagrange） ( 1 ) 式中：HP为内插点的内插值，Hi为各已知点的高程值，di为各已知点至内插点的距离，该距离是可以通过已知点至标准格网点的坐标计算出来。 拉格朗日内插法的基本原理是采用一个n次多项式（一元或二元）去拟合一个函数f(x)或f(x,y)，为计算方便和限制计算误差，一般n不大于5（阶数太大，除增加计算工作量外，有时还会出现不收敛情况和出现很大的计算误差），为保证内插的精度，必要时也采用分段插值，但由于离散点的特性，很容易在分段处其导数不连续，内插曲线不光滑，因此需要在插值结点的小区间内用低幂次插值，以保证内插曲线（或曲面）的光滑。 在数值内插中，最常用的方法是在现场采集数量有限的离散样本点，根据样本点求解拉格朗日内插多项式的系数，从而获得内插函数，求解任意点的解，在数学上则表示为：给定n个互异结点xi及对应的函数值yi = f(xi),(i = 1,2,···n)，写成多项式为： 对大多数问题是求解该多项式的系数ci，将n个离散点的（1）式写成矩阵方程： 求解的系数Ci的方程式为： 对于二元五次拉格朗日多项式来说（1）式可写为： 2．2 计算机编程内插算法分析 只要求得内插点至各已知的离散点距离，按（1）式就能很容易计算出内插点的Z值，但在实际工程中由于离散点太多，且离内插点太远的已知点，虽然其权倒数很小，但对于高程突变的点，其参与内插计算反而降低了内插精度，因此在实际编程时往往设定一个距离限值，在距离限值内的点才参与内插计算。 对于（4）式，要求解的系数Cki个数为： (个) 实际工程应用中，往往样本点（m个观测值）多于所要求解的变量Cn(mn） 再求σ对系数Ckj的偏导数，并令其为0： 这样，线性代数方程组有21个方程和21个未知系数Ckj，求出Ckj后就确定了二元五次内插的表达式。 不规则三角网（TIN）内插分析 不规则三角网（Triangulation Irregular Network，简写为TIN）内插法是近几年，特别是计算机编程广泛应用于工程实践以来最为普遍的内插方法，它最早由俄国数学家Delaunay于1934年提出的三角形最小内角最大化准则，并证明了在没有四点或四点以上共圆条件下的平面离散点存在一种三角化方式，使得连成的三角网中的三角形满足三角形外接圆不包含第四个及以上的点的条件，该三角形最接近等边三角形，所以也通常称这类三角形为Delaunay三角形。 由离散点组成的三角网内插法一般用于空间内插，如表面插值等。其内插方式如图1，内插点P满足共面条件： P1（x1,y1,z1）ncols 950 nrows 966 xllcorner 136342.5 yllcorner 25932.5 cellsize 5 NODATA_value -9999 data data data data data … … … … … … … … … … … … 前六行分别表示DEM的列数、行数、左下角X坐标、左下角Y坐标、格网间距、无数据区数据（-9999），第七行开始则每一个数据代表一个标准格网的高程值，以左下角开始，逐列逐行存放。 由于ASCII文件是顺序文件，在GIS、工程测绘软件编写代码时，不能直接从中读