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2002年全国初中数学竞赛试题
一、选择题
1.设ab<0,a2b2=4ab,则的值为【 】
A、 B、 C、2 D、3已知a1999x+2000,b1999x+2001,c1999x+2002,则多项式a2b2+c2-ab-bc-ca的值为【 】
A、0 B、1 C、2 D、3如图,点EF分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则等于【 】
A、 B、 C、 D、
4.设ab、c为实数,x=a2-2b+,y=b2-2c+,z=c2-2a+,则x、y、z中至少有一个值【 】
A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0设关于xax2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1x2,且x1<1<x2a的取值范围是【 】
A、<a< B、a> C、a< D、<a<0
6.A1A2A3…A9是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则A1A5等于【 】
A、 B、 C、 D、a+b设x1x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为 。已知ab为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与xa<b,则的值为 。如图,在△ABCABC=600,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB= 。
10.如图,大圆OAB=acm,分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4,这些圆互相内切或外切,则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。
11.满足(n2n-1)n+2=1的整数n 个。
12.某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则dp表示为 。
三、解答题
13.某项工程,如果由甲、乙两队承包,180000元;由乙、丙两队承包,150000元;由甲、丙两队承包,160000元。现在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?
如图,圆内接六边形ABCDEFAB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于一点Q,设AD与CE的交点为P。(1)求证:(2)求证:
如果对一切xx的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方)。证明:(1)2a、2b、c都是整数;2)a、b、c都是整数,并且c是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的x的整数值,x 的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?
= = =3。
2、原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。
3、设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点,
所以SΔGCF=SΔGBF,设为x;SΔGAE=SΔGBE,设为y。则 ,得2x+2y= .
所以S四边形AGCD= .从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.
4、由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-30,所以x、y、z中至少有一 个大于0.
5、由题知:(x1-1)(x2-1)0, 即x1x2-(x1+x2)+10,代入韦达定理并整理得0,可知选(A).
6、延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b.
填空题(每小题5分,共30分)
7、由Δ=(a-2)2+40知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤- .
8、由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -20.而ab,即a-cb-c.所以a-c0,b-c0.所以原式=b-a.
9、易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以= ,得PB=4
10、设⊙O3的半径为x,则O1O3= +x,O1O= ,O3O= - x. 所以( +x)2=( )2+( - x)2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4的面积为 a2.
11、由题设得n2-n-1=±1,
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