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【2013·北京·24题】在ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段 BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。 （1）如图 1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）； （2）如图 2，∠BCE150°，∠ABE=60°，判断ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC45°，求α的值。 解：（1）∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=α ∴∠ABC=90°-α ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，且∠DBC=60° ∴∠ABD=30°-α （2）△ABE是等边三角形。证明如下： 连接AD、CD、ED。 ∵BC=BD，∠DBC=60° ∴△BCD是等边三角形 ∴BD=CD ∵AB=AC，AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α ∠ACD=∠ABD=30°-α ∵∠ABE=∠DBC=60° ∴∠DBE+∠ABD=∠DBE+∠CBE ∴∠CBE=∠ABD=30°-α ∵∠BCE=150° ∴∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=α ∴∠BEC=∠BAD=α ∵BC=BD ∴△ABD≌△EBC（AAS） ∴AB=EB ∴△ABE是等腰三角形 ∵∠ABE=60° ∴△ABE是等边三角形 （3）∵∠BCE=150°，∠BCD=60° ∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90° ∵∠DEC=45° ∴△DCE是等腰直角三角形 ∴CE=CD ∵BC=CD ∴BC=CE ∴∠CBE=∠BEC ∵由(2)知，∠CBE=30°-α，∠BEC=α ∴30°-α=α ∴α=30° 【2013·北京·25题】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点。已知点D（，），E（0，-2），F（2，0） （1）当⊙O的半径为1时， ① 在点D、E、F中，⊙O的关联点是°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围； （2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。 解：（1）① 点D、E是⊙O的关联点⊙O上有无数对满足条件的点A、B；而对于点E，在⊙O上有且只有一对点A、B满足条件。 由此可知，当直线l上的点P位于以点O为圆心，半径长为2的圆内或圆上（令该圆为⊙O’）时，点P是⊙O的关联点 ∵∠GFO=30° ∴tan∠GFO= ∵OF=2 ∴OG=2， ∴点G的坐标为（0，2），且点G在⊙O’上 设直线l的解析式为y=kx+b，则 解得k=-，b=2 ∴直线l的解析式为y=-x+2 ∴点P坐标为（m，-m+2） 设直线l于⊙O’的另一个交点为H，过点H作HK⊥x轴于K，连接OH，则HK=-m+2，OK=m ∵HK2+OK2=OH2 ∴(-m+2)2+m2=4，即m2-m=0 解得m=0(此为点G)或 ∴点H坐标为（，1） ∵当P在线段GH上时，点P是⊙O的关联点 ∴m的取值范围为0≤m≤ （2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，要使该圆的半径最小，则该圆的圆心应在线段EF的中点M处。 可知，当E、F都刚好是⊙M的关联点时，线段EF上的其它点也一定是⊙M的关联点，且此时⊙M的半径也最小。 过点F作⊙M的切线，切点为N，连接MN。 则∠MNF=30° ∵OE=2，OF=2 ∴EF= ∴MN=FM=EF=1 此时，r=1 ∴这个圆的半径r的取值范围为r≥1 【2013·上海·24题】如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，，∠120°。 （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结，求∠的大小； （3）如果点在轴上，且相似，求点的坐标． 解：（1）过点A作AH⊥x轴于H。 ∵∠AOB=120° ∴∠AOH=60° ∵AO=2 ∴OH=AO·cos∠AOH=2×=1 AH=AO·sin∠AOH=2×= ∴点A坐标为（-1，） ∵OB=2 ∴点B坐标为（2，0） 将点A、B坐标代入抛物线解析式得： 解得a=，b=- ∴抛物线的表达式为y=x2-x （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，则N（1，0） ∵当x=1时，y=-=- ∴顶点M坐标为（1，-） ∴ON=1，MN= ∴tan∠MON= ∴∠MON=30° ∴∠AOM=∠AOB+∠MON=150° （3）∵OA=OB，∠AOB=120° ∴∠ABO=30° ∴当点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似时，点C在点B的右侧，且∠ABC=150° ∵∠ABC=∠AOM=150° ∴当△ABC∽△AOM时，存在如下两种情况： ① 当，即BC=时 ∵AB= OM= OA=2 ∴BC==2 ∴OC=OB+BC