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2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析
例题
如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE,点D和点E都在x轴上,以点C为顶点的抛物线y=a(x﹣m)2+n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切,其半径为3(1﹣)a.
(1)求点A的坐标和∠ABO的度数;
(2)当点C与点A重合时,求a的值;
(3)点C移动多少秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切?
思路分析:
(1)已知直线AB的解析式,令解析式的x=0,能得到A点坐标;令y=0,能得到B点坐标;在Rt△OAB中,知道OA、OB的长,用正切函数即可得到∠ABO的读数.
(2)当C、A重合时,就告诉了点C的坐标,然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长,即可得到D、E的坐标,利用待定系数即可确定a的值.
(3)此题需要结合图形来解,首先画出第一次相切时的示意图(详见解答图);已知的条件只有圆的半径,那么先连接圆心与三个切点以及点E,首先能判断出四边形CPMN是正方形,那么CP与⊙M的半径相等,只要再求出PE就能进一步求得C点坐标;那么可以从PE=EQ,即Rt△MEP入手,首先∠CED=60°,而∠MEP=∠MEQ,易求得这两个角的度数,通过解直角三角形不难得到PE的长,即可求出PE及点C、E的坐标.然后利用C、E的坐标确定a的值,进而可求出AC的长,由此得解.
解:(1)当x=0时,y=1;当y=0时,x=﹣,
∴OA=1,OB=,∴A的坐标是(0,1)
∠ABO=30°.
(2)∵△CDE为等边△,点A(0,1),∴tan30°=,∴,
∴D的坐标是(﹣,0),
E的坐标是(,0),
把点A(0,1),D(﹣,0),E(,0)代入 y=a(x﹣m)2+n,
解得:a=﹣3.
(3)如图,设切点分别是Q,N,P,连接MQ,MN,MP,ME,过点C作CH⊥x轴,H为垂足,过A作AF⊥CH,F为垂足.
∵△CDE是等边三角形,∠ABO=30°
∴∠BCE=90°,∠ECN=90°
∵CE,AB分别与⊙M相切,∴∠MPC=∠CNM=90°,∴四边形MPCN为矩形,∵MP=MN
∴四边形MPCN为正方形…6分
∴MP=MN=CP=CN=3(1﹣)a(a<0).
∵EC和x轴都与⊙M相切,∴EP=EQ.
∵∠NBQ+∠NMQ=180°,∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ,=30°,∴在Rt△MEP中,tan30°=,∴PE=(﹣3)a
∴CE=CP+PE=3(1﹣)a+(﹣3)a=﹣2a
∴DH=HE=﹣a,CH=﹣3a,BH=﹣3a,
∴OH=﹣3a﹣,OE=﹣4a﹣
∴E(﹣4a﹣,0)
∴C(﹣3a﹣,﹣3a)
设二次函数的解析式为:y=a(x+3a+)2﹣3a
∵E在该抛物线上
∴a(﹣4a﹣+3a+)2﹣3a=0
得:a2=1,解之得a1=1,a2=﹣1
∵a<0,∴a=﹣1
∴AF=2,CF=2,∴AC=4
∴点C移动到4秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切.
点评: 这道二次函数综合题目涉及的知识点较多,有:待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识.难度在于涉及到动点问题,许多数值都不是具体值;(3)题中,正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键.
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