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2013中考总结复习冲刺练:初中数学“最值问题” 集锦 2
2013中考总结复习冲刺练: “最值问题”
●平面几何中的最值问题………………… 01
●几何的定值与最值……………………… 07
●最短路线问题…………………………… 14
●对称问题………………………………… 18
●巧作“对称点”妙解最值题…………… 22
●数学最值题的常用解法………………… 26
●求最值问题……………………………… 29
●有理数的一题多解……………………… 34
●4道经典题……………………………… 37
●平面几何中的最值问题
在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例.
在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种:(1) 应用几何性质: ② 两点间线段最短; ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; ④ 定圆中的所有弦中,直径最长。 ⑵运用代数证法: ① 运用配方法求二次三项式的最值; ② 运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。 分析:在直线L上任取一点P’,连结A P’,BP’,在ABP’中AP’+BP’>AB,如果AP’+BP’=AB,则P’必在线段AB上,而线段AB与直线L无交点,所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A’,则AP’= AP,在A’BP中A’P’+B’P’>A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’=A’B,所以这时PA+PB最小。1 已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?
分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.
解 作DE⊥AB于E,则 x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry,
所以
所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.
-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,
上式只有当x=R时取等号,这时有
所以 2y=R=x.
所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,
这时,梯形的底角恰为60°和120°.
2 .如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?
分析与解 设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有???????2x+2y+πx=8,
若窗户的最大面积为S,则
把①代入②有
即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大.
3. 已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?
分析与解 因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限
状况(P与A重合时)等于AB.因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.
设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.
为了证PA+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P′,连P′A,P′B,延长AP′到C′,
使P′C′=BP′,连C′B,CC′,则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,
所以A,B,C′,C四点共圆,所以∠CC′A=∠CBA=90°,
所以在△ACC′中,AC>AC′,即PA+PB>P′A+P′B.
4 如图3-94,在直角△ABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是△ABD,△ACD的内心,直线MN交AB,AC于K,L.求证:S△ABC≥2S△AKL.
证 连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.
因为在△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,
所以 ∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.
因为M,N分别是△ABD和△ACD的内心,所以
∠1=∠2=45°,∠3=∠4,
所以 △ADN∽△BDM,
又因为∠MDN=90°=∠ADB,所以 △MDN∽△BDA,
所以 ∠BAD=∠MND.
由于∠BAD=∠LCD,所以?? ∠MND=∠LCD,
所以D,C,L,N四点共圆,所以 ∠ALK=∠NDC=45°.
同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=AL.因为 △AKM≌△ADM,
所以 AK=AD=AL.而
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