《圆》导学案(学生版).docVIP

学习目标 1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论； 2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。 一、导学探究知识概述1、顶点在，两条边的角叫做圆周角．2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧．推论2：(或)所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是．4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角．推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的．二、精讲多动 对圆周角的理解①如图，AOB与ACB是对的圆心角与圆周角，故有：，AOB＝ACB．定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：是圆中证角相等最常用的方法之一．若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的1与2)．推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，结论不成立(如图中的)． (2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)． (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据． (4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 、解题方法技巧点拨 1、圆心角圆周角之间的换算 例1、已知：如图，AB为O的直径，弦CD交AB于P，且APD＝60°，COB＝30°，ABD的度数． 例2、如图，ABC中，AB＝AC，A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求的度数． 点评：(1)辅助线AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．(2)本题还有副产品BE＝EC，你注意了吗？该副产品有时很有用． 如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC＝α, ∠ACB＝β. ⑴当α＝50°时，求β的度数。 ⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。 2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 　圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角． 　　圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角． 例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，P＝28°，AQC＝92°，求ABC的． 分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角AQC与圆外角P可通过圆周角ABC(∠ADC)与A(∠C)建立起联系。 点评：圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角． 圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图，AQC＝ABC＋A)． 圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，P＝ABC－A)． 3、与圆周角有关的证明 例4、如图，ABC内接于O，AEBC于D，交O于E，AF为O的直径． 求证：BAF＝CAE．(2) 求证：AB·AC＝AD·AF； (3)若过O作ONAB于N，则ON与CE之间有何数量关系？ 例5、如图，AB是ABC外接圆O的直径，D为O上一点，且DECD交BC于E，求证：EB·CD＝DE·AC． 例6、如图，ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：AB2＝BG·BC．例7、已知：O1的圆心O1在O2上，且两圆交于A、B两点，O1D为O2的弦，交O1于C，求证：O1C2＝O1E·O1D． 点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线． 过弧中点作半径；连等弧对的圆心角和圆周角；连等弧对的弦． 4、与圆的内接四边形的有关计算问题 例8、如图，已知AB是半圆O的直径，BAC＝40°，D是AC上任意一点，那么D的度数是________． 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D． (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径． （3）连CD，设∠BDC＝，∠ABC＝，探究与之间的关系式，并给给予适当的说明。 例9、已知：四边形ABCD内接于O，且BOD＝100°．求A的度数．5、与圆的内接四边形有关的证明问题 例10、如图，已知：AB是O的直径，弦CDAB于E，G是上任意一点，AG、DC的延长线交于F．求证：FGC＝AGD