专题研究数列的求和·例题解析.docVIP

【例1】 求下列数列的前n项和Sn： (3)先对通项求和 /PGN0166B.TXT/PGN 【例2】 求和： /PGN0167A.TXT/PGN 【例3】 求下面数列的前n项和： 比数列，另一个数组成以3n－2为通项的等差数列，分别求和后再合并． 解 设数列的通项为an，前n项和为Sn 说明 等比数列的求和问题，分q=1与q≠1两种情况讨论． …的前n项之和是 [ ] 数列{bn}的前n项和Sn=b1＋b2＋…＋bn /PGN0168A.TXT/PGN 【例5】 求在区间[a，b](b＞a，a，b∈N)上分母是3的不可约分数之和． 其中，可约分数是a，a＋1，a＋2，…，b 故不可约分数之和为 =b2－a2 解法二/PGN0168B.TXT/PGN 两式相加：2S=(a＋b)＋(a＋b)＋…＋(a＋b) 其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数． 即3(b－a)＋1－(b－a＋1)=2(b－a) ∴ 2S=2(b－a)(a＋b) ∴ S=b2－a2 【例6】 求下列数列的前n项和Sn： (1)a，2a2，3a3，…，nan，…，(a≠0、1)； (2)1，4，9，…，n2，…； (3)1，3x，5x2，…，(2n－1)xn-1，…，(x≠1) 解 (1)Sn=a＋2a2＋3a3＋…＋nan ∵ a≠0 ∴ aSn=a2＋2a3＋3a4＋…＋(n－1)an＋nan+1 Sn－aSn=a＋a2＋a3＋…＋an－nan+1 ∵ a≠1/PGN0169A.TXT/PGN (2)Sn=1＋4＋9＋…＋n2 ∵ (a＋1)3－a3=3a2＋3a＋1 ∴ 23－13=3×12＋3×1＋1 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 …… n3－(n－1)3=3(n－1)2＋3(n－1)＋1 (n＋1)3－n3=3n2＋3n＋1 把上列几个等式的左右两边分别相加，得 (n＋1)3－13=3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ∴ 12＋22＋32＋…＋n2 (3)∵ Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1 ∴ xSn=x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－3)xn-1＋(2n－1)xn 两式相减，得 (1－x)Sn=1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn-2)－(2n－1)xn 两式相减，得 /PGN0170A.TXT/PGN 说明 求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想． n∈N*，若bn=(－1)n·Sn，求数列{bn}的前n项和Tn． 分析 求{bn}的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求{an}的前n项和Sn，而由已知只需求{an}的通项an即可． －3，由a2=1，解得a3=1． 即a1=1，a2=3，a3=5，∴ d=2 an=1＋2(n－1)=2n－1 Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2 bn=(－1)n·Sn=(－1)n·n2 Tn=－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2 当n为偶数时，即n=2k，k∈N* Tn=(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2k－1)2＋(2k)2] =3＋7＋…＋(4k－1) 当n为奇数时，即n=2k－1，k∈N* Tn=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2 =－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2＋(2k)2－(2k)2 =(2k＋1)k－(2k)2 =－k(2k－1) ∵ an≠－1 ∴ an=2n－1 以下同解法一． 说明 本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列{an}的通项an，在求数列{bn}的前n项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题．由于(－1)n的作用，在变形中对n须分两种情况讨论