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几何难题 1.（2009年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD， AD与BE相交于点F． (1)求证：≌△CAD； (2)求∠BFD的度数． 证明：∵△ABC为等边三角形 ∴AB=AC, ∠BAC=∠ACB=60° 在△ABE和△ADC中 ∴△ABE≌△ADC ∴∠CAD=∠ABE ∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=180° 2、（2009年衢州）如图，四边形ABCDPBC和QCD都是等边三角形求证°；（2）PA=PQ． 证明：∵四边形ABCDQCD都是等边三角形°； 在△ABP和△PQC中 ∴△ABP≌△PCQ∴PA=PQ 3.（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求； (2)若BAC=2∠MPC，判断F与MCD 的数量关系，并说明理由．AF平分∠BAC4.如图, 已知：ABBC于B , EFAC于G , DFBC于D , BC=DF．求证：AC=EF． 5．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取；②在BC上取；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果，则说明∠B和∠C是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？ 6、（10分）如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。 7、（10分）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。（过D作DG∥AC交BC于G） 8、(8分)如图,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC于B,且DC=EC, 能否找出与AB+AD相等的线段,并说明理由. 9.(12分) 如图在和中，点A，E，F，C在同一条直线上,有下面四个论断：（1）AD =CB ， （2）AE =CF ， （3）， （4）AD //BC .请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程. 10．（7分）如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC. 11．（7分）如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC. 12．（7分）如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O. (1)若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由. 13．（7分）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB. 14、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明 （说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：． 15、如图-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且． （1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系； （2）将沿直线向左平移到图-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将沿直线向左平移到图-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 16．（6分）如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，点F是CD的中点． （1）求证： AF⊥CD （2）若连结BE，请你直接写出三个新的结论(无需证明) ． 17．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，MP、NQ分别垂直平分AB、AC，求∠1，∠2的度数. 18、（6分）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点。 19．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系?并加以证明． 20、如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE＝DF，连结AD。 求证：（1）∠FAD＝∠EAD（6分） （2）BD＝CD （6分） 21．如图14，画一个两条直角边相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F，量出BE、CF、EF的长，改变D的位置，再重复上面的操作，你是否发现BE、CF、EF的长度之间有某种关系？能说清其中的奥妙吗？