初中梯形知识+习题+难题.docVIP

梯　形 　　一、四边形的分类： 　　我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，因此我们要了解四边形的分类。 　　 二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点研究等腰梯形的性质和判定。 　　1.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 　　2.直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 　　3.等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 　　4.等腰梯形的性质： 　　（1）由定义知两腰相等，两底平行； 　　（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等； 　　（3）等腰梯形的两条对角线相等； 　　（4）等腰梯形是轴对称图形。 　　5.等腰梯形的判定： 　　（1）用定义判定； 　　（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 　　（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 　　三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线： 　　1.延长两腰交于一点 　　作用：使梯形问题转化为三角形问题。 　　若是等腰梯形则得到等腰三角形。 　　 　　2.平移一腰 　　作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 　　 　　3.作高　　　　　 　　作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。 　　4.平移一条对角线　　作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD， 　　BE等于上、下底的和　 　　（2）S梯形ABCD=SDBE 　　5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。　 　　作用：可得ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=SABF。 　　 　　6.添加梯形中位线 　　作用：能应用梯形中位线的有关性质。 　　四、例题： 　　研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。 　　例1.如图在RtABC中，BAC=900，BD=BA，M为BC中点，MN//AD交AB于N。求证：DN=BC。 　　 分析：此题是证线段的“倍半”问题，我们知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，已知CAB=900，若连结AM，则AM=BC，只要证明AM=DN即可。于是考虑证明四边形ANMD是等腰梯形即可。 　　证明：连结AM， 　　CAB=900，M为BC中点， 　　 AM=BC， 　　 MN//AD且DM与AN不平行， 　　 四边形ANMD是梯形， 　　又 BD=BA，BAD=∠BDA， 　　 梯形ANMD是等腰梯形。 　　 DN=AM（等腰梯形对角线相等） 　　 DN=BC。 　　说明：“等腰梯形对角线相等”这一性质，又给出一个证明线段等的方法。 　　例2.已知如图，梯形ABCD中，AD//BC，ACBD，BD=5cm，高DE=4cm。求：S梯形ABCD。  分析：已知梯形的高，要求梯形面积，只需求出上、下底的和。平移一条对角线，即作DF//AC交BC延长线于F，这样AD=CF，只要求出BF的长即可。 　　解：过D作DF//AC交BC延长线于F， 　　 AD//BC， AD=CF， 　　 BF=BC+CF=BC+AD， 　　 AC⊥BD， BD⊥DF，DBF是Rt， 　　在RtBDE中，BE2+DE2=BD2，（勾股定理） 　　 BE2=BD2-DE2，又 BD=5，DE=4， 　　 BE==3， 　　在RtDEF中，DE2+EF2=DF2　 (1) 　　在RtDBF中，BD2+DF2=BF2 　　 BF2-BD2=DF2 (2) 　　由(1), (2)两式可得　 DE2+EF2=BF2-BD2， 　　设EF=x，则BF=3+x， 　　 42+x2=(3+x)2-52 　　化简得 3x=16 　　 x=，即EF=， 　　 BF=BE+EF=3+=, 　　 S梯形ABCD=(BC+AD)×DE=BF·DE 　　=××4=(cm2) 　　 所求梯形面积是cm2。 　　说明：在解题过程中我们为求EF的长，使用了一个重要的数学思想方法——方程思想。即利用方程求线段的长。 　　用方程思想解决几何中的计算问题，是用代数的方法解决几何问题的重要思路，也是数形结合数学思想应用的一个方面。使用方程思想的关键是适当设元，然后利用等量关系列出方程。实际问题中存在着大量的等量关系，如在此题中，RtDEF和RtDBF，共用一条边DF，因此借助勾股定理分别把DF2用其他线段的平方表示出来，这样就找到了等量关系即BF2-BD2=DE2+EF2，再合理设出未知量，就得到了方程。请同学们在今后的学习中注意使用方程思想。