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Nove 18 Fri. 第四章 不定积分 不定积分的概念及性质； 不定积分的换元法； 不定积分的分部积分法； 有理函数不定积分. 一元函数积分学基本问题 §1 不定积分的概念及其性质 原函数及不定积分 不定积分的几何意义； 基本积分表； 不定积分的性质。 一. 原函数(primitive function)与不定积分 二. 不定积分的几何意义 三. 基本积分表 四. 不定积分的性质 例 小 结 * * 微积分产生的原因: 1. 求物体在任意时刻的速度和加速度； 2.求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向； 3.求最大值和最小值： 获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题； 4.微小量的累加： 曲线长，曲线围成的面积，曲面围成的体 积，物体重心。 由此引出原函数与不定积分的概念； 2. 计算诸如曲边梯形的面积等这类涉及到微小量 的无穷积累问题。 由此引出定积分的概念 定积分 不定积分 Newton Leibnize 公式(17世纪) 一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。 定义： 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 定理： 证明： 再证它是全部原函数。 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 原函数存在定理： 连续函数一定有原函数. 例1 求 解 解 例2 求 求不定积分得到 一积分曲线族. 解： 简单的初值问题： 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 ? 是常数); 说明： 简写为 例4 求积分 解 根据积分公式（2） （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） *