东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案1.docVIP

工程矩阵理论试卷 一、已知的子空间 ，，分别求的一组基及它们的维数。 解：的基为：，2维。 的基为：，2维。 设，比较，则，，所以基为，1维。 为由生成的空间，，其极大线性无关组为：，即为的基，3维。 二、设上的线性变换定义为： ，，其中，表示矩阵X的迹。 1、求在V的基，，，下的矩阵A； 2、求的值域及核子空间的基及它们的维数； 3、问：是否为直和？为什么？ 解：1、 ， 2、的值域： 的基为，，，，故 故的基即为的极大线性无关组：，为1维。 核子空间：，的基础解系：，为3维。 3、观察得：的基与线性无关，维数的和为4，故是直和。 三、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别求A和B的jordan标准形；问：A与B是否相似？为什么？ 解：由矩阵A的特征多项式及最小多项式相等，均等于，得 ，。A与B相似，因为它们有相同的jordan标准形。 四、已知矩阵，求A的广义逆矩阵 解：对A进行满秩分解： ，A应该分解为 五、已知矩阵，其中，矩阵A，B的F范数及算子2范数分别是，，，，试求和。 解：F范数定义为， 算子2范数定义为，表示A中特征值最大为3，表示B中特征值最大为2，M的特征值即为A、B全部特征值，故为A、B中特征值的最大值，。 六、设V是一n维欧氏空间，是一单位向量，是一参数，V上的线性变换定义为：，问：当取何值时，是正交变换？ 解：扩充为V的一组标准正交基，则： 若是正交变换，则A必须为正交矩阵，A的行向量或列向量必须为标准正交基。 七、证明题： 1、假如A是H阵，证明：是酉矩阵。 证明：要证是酉矩阵，即证 根据矩阵多项式的性质， （与可交换） 是酉矩阵 2、设是相容矩阵范数，证明：对任意方阵A，A的谱半径。 证明：设A的特征值，为与对应的的特征向量，有 两边取范数， 是相容范数， ，，， （若考虑仅为方阵上的相容矩阵范数，则只需将扩充为的方阵即可） 1