东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案3.docVIP

工程矩阵理论试卷 一、假如。 1、记。证明：是的子空间。 2、若A是单位矩阵，求。 3、若，。求这里V（A）的一组基及其维数。 4、假如。问：对上一题中的和，是否为直和？说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有，，。 设，， ， ， 是的子空间。 2、若A是单位矩阵，则，因为对单位阵I来说，恒成立，故，。 3、若，，设，有，即， ，→ 有，故= 故X的一组基为，维数为2。 4、，即，其基为。 下面计算 ，若 ，则是直和。。 =（、基的极大线性无关组）， 为极大线性无关组（可以不求，从上式即可看出）， +不是直和。 二、假如，，在上定义变换如下：。 1、证明：是上的线性变换。 2、求在的基下的矩阵M。 3、试求M的jordan标准形，并写出的最小多项式。 4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？ 解： 1、 有： ，有←加法封闭 ，有←数乘封闭 是上的线性变换。 2、 3、 M的若当标准形为，的最小多项式为 4、，，基础解系为，， ，，基础解系为 这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。 三、设的子空间，，求，使得。 解： 思路：求V的基→由该基生成； 的含义是指在V中找一向量，使得的距离最短，即寻找在V中的正投影。作图如右侧。 由，得V的基为， 则，， 或 四、设，求及矩阵函数。 解： （2重根） 时，，故A的jordan标准形为，A的最小多项式为。 令， （计算略） 令 ， (太麻烦了，不算啦！) 五、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。 1、分别给出A和B的jordan标准形； 2、问：A与B是否相似？为什么？ 解： A的特征多项式及最小多项式都等于，故A的jordan标准形为： ， A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。 六、已知矩阵，求A的广义逆矩阵。 解：对A进行分块： 对进行满秩分解， 对进行满秩分解， 七、证明题： 1、假如是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换如下：对任意，（镜像变换）。证明：是V上的正交变换。 证明：要证是V上的正交变换，只要证明下的矩阵是一个正交矩阵即可。 将扩充V上的一组标准正交基， 可看出，下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故是V上的正交变换。 2、设H阵A，B均是正定的，并且AB=BA，证明：AB是正定矩阵。 证明： A，B均是正定的H阵，故，，且酉矩阵P、Q，st., 要证明AB是正定矩阵，首先要证AB是H阵。 AB是H阵。 即∽，是正定矩阵，故的特征值均大于0，所认特征值也大于0，故AB正定。 1 V