利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题(5页).docVIP

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) (x) 可导且(x)≠0； 　　(3)，那么 。 f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)f(x) 和g(x)在与上可导，且(x)≠0； 　　(3)，那么 。 f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) (x) 可导且(x)≠0； 　　(3)，那么 。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则洛必达法则，，，，，，型。 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。。 若，求的单调区间； 若当时，求的取值范围 原解：（1）时，，. 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 （II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ， 从而当，即时，，而， 于是当时，. 由可得.从而当时， ， 故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当时，，对任意实数a,均在； 当时，等价于 令(x0),则，令，则，， 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。 由洛必达法则知，， 故 综上，知a的取值范围为。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 解：（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。 考虑函数，则。 （i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时， ，可得； 当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0 从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+. （ii）设0k1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x0,故 （x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,与题设矛盾。 （iii）设k1.此时，（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0] 时，k恒成立。 令g (x)= (),则， 再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数；故=0 在上为增函数 =0 当时，当x（1，+）时，当时，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数 由洛必达法则知 ，即k的取值范围为（-，0]取值范围