复数及数学归纳法的基本理论及应用.docVIP

复数概述 复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 复数的定义定义：形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部记作Rez=a 实数b称为虚数z的虚部记作 Imz=b.当b=0时，z=a，这时复数成为实数；当a=0且b≠0时 ，z=bi，我们就将其称为纯虚数。定义： 对于复数z=a+bi，称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作z∣。 即对于复数z=a+bi，它的模z∣=√(a^2+b^2) 复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集复数集是无序集，不能建立大小顺序。复数的四则运算法则：若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，dR，则z1±z2=（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i，（a＋bi）?（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，（a＋bi）÷(c＋di)=(ac+bd／c^2+d^2;)+(bc-ad／c^2;+d^2;)i复数的加法乘法运算律：z1+z2=z2+z1 加法结合律：（z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)z1z2=z2z1 乘法交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 加法在乘法中的分配率：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 虚数单位的乘方：i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,i^4n=1(其中nZ）复数的其他表达复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。几何形式。在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式z＝r（cosθ＋sinθi）式中r= sqrt(a^2+b^2)，是复数的模（即绝对值）；θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作argz，即argz=θ =arctan（b/a），这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。指数形式。将复数的三角形式z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)复数三角形式的运算 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] z1÷z2＝(r1÷r2)[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]　 复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行； 一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。 棣莫佛定理（复数的乘方）对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂 z^n=(r^n)*[cos(nθ)+isin(nθ)]　（其中n是正整数）复数的开方若z^n=r(cosθ+isinθ), 则z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝0，1，2，3……n-1）系统分析信号分析反常积分量子力学相对论应用数学流体力学碎形概述数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。基本步骤（一）第一数学归纳法： 　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： 　　（1）证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况； 　　（2）假设当n=k（k≥ [n的第一个值]，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 　　（二）第二数学归纳法： 　　对于某个与自然数 有关的命题 ， 　　（1）验证 n=n0时 P(n)成立； 　　（2）假设 nonk时 P(n)成立，并在此基础上，推出 P(k)成立。 　　综合（1）（2）对一切自然数 n(≥n0)，命题P(n)都成立； 　　（三）倒推归纳法（反向归纳法）：