师大附中2016年高一自主招生考试.doc

师大附中2011年高一自主招生考试 数学试题参考答案 一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B 二、、 5、 7、7 8、20 三均为等腰直角三角形，计算得，在直角三角形中，。 2、（1）设购买台甲机器，则，所以。即取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。 （2）按方案①，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案②，所需资金（万元），日产量为（个）；按方案③，所需资金为（万元），日产量为（个）。所以，选择方案②。 3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝，PN＝y，则面积 S＝xy， ① 因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得 ，即． 代入①，得， 即． 因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点， 当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．此时，钢板的最大利用率是80％ 4、连CS。 ∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O， ∴AO=BO,CO=DO. ∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形. ∵S是OD的中点，∴CS⊥DO. 在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC. 同理BP⊥AC. 在Rt△BPC中，PQ=BC. 又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC. ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ为等边三角形. 5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2. 设C1（），则得，解得，得C1（） 若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2. 设C2（），则得，解得.得C2（） 又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（） 若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（）. 所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为： （），（），（），C4（）、（1）方程有两个实数根，则，解方程得 ，．由题意，得 即 故． （2）把代入两等式，化简得，， 当时，． 当时，、是方程的两根，而△＞0，由韦达定理得， ＞0，＞0，则＞0、＞0． ①，时，由于 故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝． ②，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③，时，因＞，故能构成三角形． S△ABC＝ 综上，△ABC的面积为1或． 2