2014世纪金榜第五章 第一节.pptVIP

(2)当n=1时，a1=S1=3+1=4， 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1. 当n=1时，2×31-1=2≠a1， 考向 3 简单的递推数列 【典例3】(1)如果数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n，则数列{an}的通项公式an=_________. (2)若数列{an}满足a1=1,an+1=2nan，则数列{an}的通项公式an= _________. (3)若数列{an}满足a1=3，an+1=3an+2，则数列{an}的通项公式an=_________. 【思路点拨】(1)即an+1-an=2n，采用叠加的方法. (2)即 ，采用叠乘的方法. (3)采用两端凑常数的方法转化为等比数列. 【规范解答】(1)由于an+1-an=2n，故a2-a1=2×1,a3-a2= 2×2,…，an-an-1=2×(n-1),将这n-1个等式叠加得an-a1= 2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1)，故an=n2-n+2. 答案：n2-n+2 (2)由于 ，故 将这n-1个等式 叠乘得 ，故 答案： (3)设an+1+λ=3(an+λ)，即an+1=3an+2λ，与已知an+1=3an+2比 较，只要取λ=1，即可把an+1=3an+2化为an+1+1=3(an+1)，即得 到数列{an+1}是首项为a1+1=4，公比为3的等比数列，故an+1= 4×3n-1，所以an=4×3n-1-1. 答案：4×3n-1-1 【拓展提升】典型的递推数列及求解方法 其中(1)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的求解方法是：设an+1+λ= p(an+λ)，即an+1=pan+pλ-λ，与an+1=pan+q比较即可知只要 (2)an+1=pan+q·pn+1(p≠0,1,q≠0)的求解方法是两端同时除 以pn+1，即得 =q，数列{ }为等差数列. 【变式训练】(1)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2an-2n=Sn， 数列{an}的通项公式an=________. 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn得2an+1-2n+1=Sn+1，相减整理 得an+1=2an+2n，即 ，即数列{ }是首项为1，公 差为 的等差数列，故 ，故an= (n+1)·2n-1. 答案：(n+1)·2n-1 (2)已知数列{an}中，a1=1,an+1= ,bn= ，则数列{bn} 的通项公式bn=________. 【解析】由于an+1-2= -2= ， +2，即bn+1=4bn+2，bn+1+ =4(bn+ ).又a1=1，故 所以{bn+ }是首项为- ，公比为4的等比数列. bn+ =- ×4n-1，bn=- ×4n-1- . 答案：- ×4n-1- 【创新体验】递推数列创新题 【典例】(2012·新课标全国卷改编)数列{an}满足an+1＋ (－1)nan ＝2n－1，则{an}的前60项和为_______. 【思路点拨】 第五章 数 列 第一节 数列的概念 1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 ①按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每个数都 叫做这个数列的项. ②数列是特殊的函数，它的特殊性主要体现在定义域为_____ ______(或它的有限子集{1，2，…，k}k∈N*). 一定次序 正整 数集N* (2)数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： 有穷数列——项数_____的数列； 无穷数列——项数_____的数列. (3)数列的通项公式 ①如果数列{an}的______与______之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 有限 无限 第n项 序号n 通项公式法 ②数列的表示方法 _______ _______ 2.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任何一项an与它的 ____________________间的关系可以用一个式子来表示，即 an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列{an}的递 推公式. 列表法 图象法 前一项an-1(或前几项) 3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， __， n=1， ______，n≥2. 则an= S1 Sn-Sn-1 判断下