力学第二版习题答案第九章.docVIP

第九章基本知识小结 ⒈物体在线性回复力F = - kx，或线性回复力矩τ= - cφ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 （x表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m，单摆：ω02=g/l，扭摆：ω02=C/I. ⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv；振幅A和初相α由初始条件决定。 ⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，。 ⒋两个简谐振动的合成 分振动特点 合振动特点 方向相同，频率相同 与分振动频率相同的简谐振动 Δα=±2nπ 合振幅最大 Δα=±(2n+1)π 合振幅最小 方向相同，频率不同，频率成整数比 不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数 方向相同，频率不同，频率较高，又非常接近 出现拍现象，拍频等于分振动频率之差 方向垂直，频率相同 运动轨迹一般为椭圆 Δα=±2nπ 简谐振动（ⅠⅢ象限） Δα=±(2n+1)π简谐振动(ⅡⅣ象限) 方向垂直，频率不同，频率成整数比 利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关 ⒌阻尼振动的动力学方程为 。 其运动学方程分三种情况： ⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性， ，对数减缩 = βT’. ⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。 ⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置 ⒍受迫振动动力学方程 ； 其稳定解为 ，ω是驱动力的频率，A0和φ也不是由初始条件决定, 当时，发生位移共振。 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。 解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽 略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsinφ O h 因为是微小摆动，sinφ≈φ,∴τ= - mghφ， 即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位 φ C 置附近运动，因而是简谐振动。 由转动定理： mg 即， 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。 解：以平衡位置为原点建立 k1 k2 坐标o-x。设m向右偏离平衡位 置x，则弹簧1被拉长x，弹簧2 o x 被压缩x，m所受的合力（即回复力）. 由牛顿第二定律： 9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1.若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？ 解：以两个弹簧串联后m的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m向下偏离平衡位置x，弹簧1伸长ΔL1，弹簧2 k1 伸长ΔL2，ΔL1+ΔL2 = x (1)；由于忽略弹簧质量， k2 两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即 k1ΔL1 = k2ΔL2 (2)；由⑴、⑵解得：， o 所以m所受的回复力 ， x 由牛顿二定律； ，即 ，未串联前频率 ，令 ，即 ，可求得： 9.2.4 单摆周期的研究：⑴单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内；⑵单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内；⑶单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l. 解：⑴以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成α角，由平衡条件： 设单摆偏离平衡位置角位移为θ(θ5°)，单摆所受回复力矩： 由转动定理：， 以上求解较为麻烦，我们可以用另外一种简捷的思路和方法： 在重力场中单摆的周期为，g是重力场强度 现在单摆在力场中振动，力场强度： ⑵以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理： 同样可以认为单摆在力场 中振动，力场强度： ⑶与前面分析完全相同， 9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为1013/s，设想各原子间彼此以弹簧连接，1摩尔银的质量为108g，且包含6.02×1023个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。 解：利用9.2.2题的结果： 9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m,物体的质量为200g,现将弹簧自平衡位置拉长cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s,求该振子的运动学方程（SI）。 解：弹簧