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概率论与数理统计 夏宁茂 答案 第三章.pdf
3.21 解:
先求边际分布,并用下表给出
ξ 0 1 2
P (ξ i ) 0.25 0.45 0.3
η 0 1
P (η j ) 0.5 0.5
于是,
ξ =× + × + × ,
E 0 0.25 1 0.45 2 0.3 1.05
E 0 0.5 1 0.5 0.5
η =× + × ,
由公式3.3.1,得
⎛ π ⎞
ξ η
+ =× + × + − × ,
E ⎜sin ( ) ⎟ 1 0.15 1 0.25 ( 1) 0.15 0.25
⎝ 2 ⎠
E (max(ξ,η)) 1=×0.15 +1×0.25 +1×0.2 +2×0.15 +2×0.15 1.2 ,
2 2 2 2 2 2
E (max (ξη, )) 1 =×0.15 +1 ×0.25 +1 ×0.2 +2 ×0.15 +2 ×0.15 1.8 ,
2 2 2
D (max(ξη, )) E (max (ξη, )) =−[E (max(ξη, ))] 1.8 =−1.2 0.36 .
3.22 解:
+∞ +∞ 2 2
− +
2 2 2 2 (x y )
由公式3.3.1,得Eζ E ξ =+η ∫ ∫ x =+y ⋅4xye dxdy ,
0 0
作极坐标变换后,得
π
+∞ 2 +∞ 2
2 4 −r 4 −r
Eζ 4sinθcosθdθ r e dr 2 r e dr ,
∫0 ∫0 ∫0
3 +∞ 2
作分部积分,可得Eζ 4 ∫−∞ e−r dr ,
1
注意到积分号下的函数是N (0, ) 的密度函数,故利用密度的规范性,得
2
3 +∞ 1 2 3
Eζ 4 π∫−∞ π e−r dr 4 π .
3.23 解:
利用密度的规范性
+∞ +∞ A
1 ∫ ∫ 2 2 2 dxdy ,
−∞ −∞ + +
(x y 1)
作极坐标变换后,得
2π +∞ r 1
1 A dθ 2 2 dr Aπ ,故A ,
∫ ∫
0
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