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《激光原理》习题解答 第二章习题解答 1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次 往返即自行闭合. 证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为 实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射 镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。 设两个凹镜的曲率半径分别是R 和R ，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知： 1 2 R = R = R= L 1 2 因此，一次往返转换矩阵为 ⎡ 2L ⎛ L ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎢ 1 − 2L1 − ⎥ ⎜ ⎟ ⎡A B⎤ R R T= ⎢ ⎥ = ⎢ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎣C D⎦ ⎢ ⎡ 2 2 ⎛ 2L⎞⎤ ⎡2L ⎛ 2L⎞⎛ 2L⎞⎤⎥ ⎢− ⎢ + ⎜1 − ⎟⎥ − ⎢ − ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟⎥⎥ R R ⎜ R ⎟ R ⎜ R ⎟⎜ R ⎟ ⎢ 1 2 ⎝ 1 ⎠ 1 ⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦ 把条件R = R = R= L带入到转换矩阵T，得到： 1 2 ⎡A B⎤ ⎡−1 0 ⎤ T= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣C D⎦ ⎣ 0 −1⎦ 1 共轴球面腔的稳定判别式子−1 (A+ D)1 2 1 1 如果 (A+ D) = −1 或者 (A+ D) =1，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来 2 2 定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属 于稳定腔。 2 2 ⎡1 0⎤ 经过两个往返的转换矩阵式T ，T = ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ r r 1 0 r r ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 坐标转换公式为： 2 = T2 1 = 1 = 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ θ θ 0 1 θ θ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ ⎦⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过 两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合， 对称共焦腔是稳定腔。 2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。 2